1、13 空间几何体的表面积和体积13.2 空间几何体的体积学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接课 标 点 击 学习目标预习导学典例精析栏目链接1了解柱、锥、台、球的体积的计算方法2能用柱、锥、台、球的体积公式解决相关问题学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接典 例 剖 析 学习目标预习导学典例精析栏目链接柱体的体积如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA18.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点当底面ABC水平放置时，液面高为多少？学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接分析
2、：不妨设正三棱柱的底面ABC的面积为S，则可算出水的体积，由此当底面水平放置时就不难求出其高度了解析：设ABC 的面积为 S，则三棱柱ABCA1B1C1 的体积为 8S，水的体积为348S6S.当底面水平放置时，设液面高度为 h，则 hS6S，h6.学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接规律总结：有些几何体虽是柱体但由于放置的位置不同不易求体积，应考虑转换位置回归到柱体解决问题 学习目标预习导学典例精析栏目链接锥体的体积如右下图所示，三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC为三条侧棱，且PA、PB、PC两两互相垂直，又PA2，PB3，PC4，求三棱锥PABC的体积V.学习目
3、标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：三棱锥的体积 V13Sh，其中 S 为底面积，h 为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把 A 看做顶点，面PBC 作为底面求解 解析：由于 PAPB 且 PAPC，而 PB 与 PC 相交于点 P，所以PA 垂直平面 PBC，即 PA 为三棱锥 APBC 的高故 V13Sh13SPBCPA13123424.学习目标预习导学典例精析栏目链接规律总结：锥体的高实质上是与锥体底面垂直的线段，由前面知识可知，只要一条直线与一个平面的两条相交直线垂直，则它就与这个平面垂直 本例中，不是先求出以ABC为底面的三棱锥的高，而是把
4、它转化为三棱锥APBC的高这种方法的依据是：三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当做底面来处理这一方法叫做体积转移法(或称等积法)，随着知识的增多，它的应用越来越广，因此必须熟练掌握学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练1已知三角形ABC的边长分别是AC3，BC4，AB5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积 解析：ABC 为直角三角形，且 AB 为斜边，绕 AB 边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径 R125.V 锥13ABR2135125214415.学习目标预习导学典例精析栏目链接台体的体积三棱台ABCA1B1C
5、1中，AB：A1B11：2，则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体积之比为_学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：如右图，三棱锥A1ABC的顶点看作A1，底面看作ABC；三棱锥CA1B1C1的顶点看作C，底面看作A1B1C1；三棱锥BA1B1C可看作棱台截去两个三棱锥A1ABC和CA1B1C1后剩余的几何体，分别求几何体的体积，然后相比即可学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：设棱台的高为 h，SABCS，则 SA1B1C14S.VA1ABC13SABCh13Sh，VCA1B1C113SA1B1C1h43Sh.又 V
6、 台13h(S4S2S)73Sh，VBA1B1CV 台VA1ABCVCA1B1C1 73ShSh3 4Sh3 23Sh.体积比为 1：2：4.答案：1：2：4学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接规律总结：(1)求台体体积的常用方法有三种：一是利用台体的体积公式来求解，这就需要知道台体的上、下底面积和高；二是抓住台体是由锥体截割而来的这一特征，把它还原成锥体，利用锥体体积公式来求其相应台体的体积；三是利用割补法来求其体积(如本例)(2)三棱柱、三棱台都可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积，在立体几何中，割补法是重要的思想方法学习目标预习导学典例
7、精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练2已知一正四棱台的上底边长为4 cm，下底边长为8 cm，高为3 cm，求其体积解析：V13(S 上S 下 S上S下)h 13(4282 4282)3 112(cm3)学习目标预习导学典例精析栏目链接球体的体积三个球的半径之比是1：2：3，求证：最大球的体积等于其他两个球体积和的三倍分析：由三个球的半径之比为1：2：3，可设三个球半径分别为r、2r和3r，则三个球的体积都可以表示成r的代数式，然后再研究它们体积的数量关系学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接证明：三个球半径之比为 1：2：3，于是可设三个球的半径分别
8、为 r、2r 和 3r.则最大球的体积为4（3r）3336r3.其他两个球的体积之和为4r334（2r）3312r3.最大球的体积等于其他两个球的体积之和的三倍 学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接规律总结：解决球的体积问题，首先要熟练掌握球的体积公式，它可以想象成以球的半径为高，球面为底面的圆锥在求球的体积时，其关键是求球的半径学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练3一平面截一球得直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是_解析：设球的半径为R，则球心与截面圆的圆心的连线与截面圆垂直4232R2，R5.V
9、 球43R343535003(cm3)答案：5003 cm3学习目标预习导学典例精析栏目链接球的表面积已知球的两平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且距离为1，求这个球的表面积分析：要求球的表面积，只需求出球的半径，因此要抓住球的轴截面(过球的直径的截面)学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：如图所示，设以r1为半径的截面面积为5，以r2为半径的截面面积为8，O1O21，球的半径为R，OO2x，那么可得下列关系式：学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接r22R2x2且r22(R2x2)8，r12R2(x1)2且r12R2(
10、x1)25，于是(R2x2)R2(x1)285，即R2x2R2x22x13，2x2，即x1.又(R2x2)8，R218，R29.R3.球的表面积为S4R243236.学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接规律总结：球的轴截面(球的过直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练4用两个位于球心异侧的平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆半径为r124 cm，r215 cm，两截面间的距离为d27 c
11、m，求球的表面积 解析：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于A1B1、A2B2，上述大圆垂直于A1B1的直径交A1B1、A2B2于O1、O2，如下图所示学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接设 O1Od1，OO2d2，则d1d227，152d22R2，d21242R2，解得 R25.S 球4R22 500(cm2)学习目标预习导学典例精析栏目链接有关组合体的表面积和体积求体积为V的正方体的外接球的表面积和体积分析：如下图所示，显然正方体的中心为其外接球的球心，过球心作平行于正方体任一面的截面，则其截面为圆内一正方形(正方形的各顶点均在圆内，而不是在圆上)因此这样的截面无法
12、反映球的半径与正方体的棱长的关系注意到球心必在正方体的一个对角面上，因此，以正方体的一个对角面作截面即可学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：如下图，过正方体的对角面 ACC1A1 作球的截面，则球心为 AC1 的中点，设正方体的棱长为 x，外接球的半径为 R，则 x3V，x3 V.而 A1C1 2x，AC1 AA 21A1C 21 3x 33 V2R.R 33 V2.S 球4R233 V2，V 球43R3 32 V.学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接规律总结：正方体外接球的轴截面有多种情形，因此在解决棱柱内切球和外接球的有关问题时
13、，必须谨慎地作其轴截面，切忌想当然地作图，平时学习时最好是自己动手做实物模型，由模型作出相应的轴截面进行练习 学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练5如右下图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF，EF与面AC的距离为2，求该多面体的体积学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：这个多面体是一个不规则的图形，其形状犹如木工常用的木楔，立体几何中把这种几何体称为楔体，所以必须运用割补的方法，将其化归为棱柱或棱锥进行体积计算 解析：方法一(补形)如图，将多面体 ABCDEF 补成三棱柱BCEADG，再
14、将这个三棱柱补成四棱柱 ABCDHKEG，则有 V 三棱柱12V 四棱柱12929.学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接又 VFAGD16V 三棱柱16932，从而 VABCDEFV 三棱柱VFADG932152.方法二(分割)如图，连接 FB、FC，则四棱锥 FABCD 的体积VFABCD133226.由于 AB2EF，EFAB，所以 SFAB2SBEF.学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接VFEBCVCEFB12VCABF 12VFABC 1212VFABCD32.多面体 EFABCD 的体积：VEFABCDVFABCDVFEBC632152.学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接规律总结：(1)本题充分结合图形的特征，强化割补的思想方法，考查多面体体积的计算以及空间想象能力、运算能力(2)某些立体几何问题，如果直接根据原有的图形解题困难时，那么不妨将此图形巧妙地分割或补体，转化为我们熟悉的柱、锥等比较规则的或易于研究的几何体来处理，从而实现化繁为简、化难为易，便于解决问题(3)等积转化，亦称等积变换，通常是指用不同的方式求同一几何体的体积(或同一平面图形的面积)
