1、临沂一中高三年级学情调研（四）数学试题 考试时间：120分钟，总分：150分 2020.11.7一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1已如集合A，B，则下列结论正确的是（ ） AABR BAB C D2复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3有4名学生志愿者到3个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名同学都只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法为（ ）A6种 B12种 C36种 D72种4函数f(x)= cos (x2) ln( ex+e-x )的图象大致为( )5要测定古物的年代，可以用发射性碳法：在动植物
2、的体内都含有微量的发射性14C，动植物死亡后，停止新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变经科学测定，14C的半衰期为5730年（设14C的原始量为1，经过x年后，14C的含量即），现有一古物，测得其14C的原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？（参考数据：，）（ ） A3581 B1910 C9168 D171906已知菱形ABCD中，ABC120，AC，若，则（ ）A B C D7若偶函数满足，则（ ）A2020 B1010 C1010 D20208已知数列满足，(n)，数列的前n项和为，则（ ） A BC D二、 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分9已知曲
3、线C的方程为(kR) （ ）A当k5时，曲线C是半径为2的圆B当k0 时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为C存在实数k，使得曲线C为离心率为的双曲线D“k1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件10设a0，b0，则（ ）A BC D11已知函数的图象关于直线对称，则A函数为奇函数 B函数在，上单调递増C若，则的最小值为D函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象12在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB4，BC2，M，N分别为棱C1D1，CC1的 中点，则下列说法正确的是A平面MNB截长方体所得截面的面积为BMN平面A1BD C直线BN与B1M所成角为60D三棱锥NA1DM的
4、体积为4 三、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共计20分13展开式中含x2的项的系数为 14某学习小组研究一种卫星接收天线（如图所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图所示），已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 m 15已知(，0)，sin()，则tan2的值为 16在平面四边形ABCD中，ABCD1，BC，AD2，ABC90，将ABC沿 AC折成三棱锥，当三棱锥BACD的体积最大时，三棱锥外接球的体积为 四、解答题（本大题共6小题，共计70分)17（本小题
5、满分10分）设为数列的前n项和，满足且，成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和19（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC- A1B1C1中，四边形ABB1A1和AA1CC1均为菱形，平面ABB1A1平面AA1CC1. A1AC=3，A1AB=4，E为棱AA1上一点，BEAA1. (1)求证: BE A1C(2)设AB=2,求二面角B- CC1-A的余弦值.20（本小题满分12分）某校从高三年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i位学生的成绩为(xi,yi) (i=1,2,3.20),其中xi,yi分别为第i位学生的数学总评成绩和物理总评成绩.抽取的数
6、据列表如下( 按数学成绩降序整理):序号12345678910数学总评成绩x95929190898888878685物理总评成绩y96908987928186888384序号11121314151617181920数学总评成绩x83828180807978777574物理总评成绩81808285807879818078(1)根据统计学知识，当相关系数|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关.根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关?请通过计算加以说明. (2)规定:总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀，对优秀赋分I,对不优秀赋分0，从这20名学生中随机抽取2
7、名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求X的分布列和数学期望.21（本小题满分12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)经过点（2，1），离心率为22（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：ykx+t（t0）与椭圆C相交于A，B两点，若以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形OAPB的面积为定值22（本小题满分12分）已知函数，（1）求函数的最小值；（2）若是的切线，求实数k的值；（3）若与的图象有两个不同交点A(，)，B(，)，求证：临沂一中学情调研（四）参考答案1C 2A 3C 4C 5B 6D 7A 8C9ABD 10ACD 11AC 12B
8、CD13100 141.44 15 1617略18.略19 (1) 因为平面平面，平面，平面平面，所以平面， 4分又因为平面，所以. 5分(2)方法1：（综合法）作于，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以, 所以即为二面角的平面角. 9分（注：对于作出了平面角，但没有证明的给2分） 在菱形中，由、，可求得. 在菱形中，由、，可求得10分所以在中，故可求得.所以二面角的余弦值为. 12分方法2：（向量法）作于，则，因为平面平面， 平面，平面平面，所以平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系 6分在菱形中，由、，可求得. 在菱形中，由、，可求得，所以点的坐标为，点的坐
9、标为，点的坐标为，.由(1)知平面，所以平面的一个法向量， .8分设平面的法向量，则，即，取，则平面的一个法向量 .10分所以， .12分20. (1) 3分， 5分所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关. 6分注：这里处理方案很多，例如：；.(2) 由题意得：的可能取值为0，1，2，3，4. 根据赋分规则可知，7个人赋分为2，4个人赋分为1，9个人赋分为0.所以，.所以的分布列为：01234所以 12分21.（1）解：由题意，2a2+1b2=1ca=22a2=b2+c2，解得a24，b22椭圆方程为x24+y22=1；（2）证明：联立y=kx+tx24+y22=1，得（2k2
10、+1）x2+4ktx+2（t22）0（4kt）28（2k2+1）（t22）82（2k2+1）t20设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-4kt2k2+1，x1x2=2(t2-2)2k2+1y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t2k2+1四边形OAPB是平行四边形，OP=OA+OB=(x1+x2，y1+y2)=(-4kt2k2+1，2t2k2+1)，则P（-4kt2k2+1，2t2k2+1）又点P在椭圆上，4k2t2(2k2+1)2+2t2(2k2+1)2=1，即t2=2k2+12|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=221+k22(2k2+1)-t22k2+1=231+k22k2+1又点O到直线l的距离d=|t|1+k2平行四边形OAPB的面积S=2SOAB=|AB|d=23|t|2k2+1=62k2+12k2+1=6即平行四边形OAPB的面积为定值622略
