1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论学 习 目 标核 心 素 养1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法(难点)2掌握平面的基本性质及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系(重点)3能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题(难点)1.通过平面概念及画法的学习，培养直观想象的数学核心素养2借助平面基本性质及推论，培养逻辑推理的数学核心素养.1平面的基本性质及推论公理内容图形符号基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内Al，Bl，且A，Bl基本性质2经
2、过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C基本性质3如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，Pl，且Pl推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图)推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图)推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图)2异面直线(1)定义：把既不相交又不平行的直线叫做异面直线(2)画法：(通常用平面衬托)3空间两条直线的位置关系思考：不在同一平面的两条直线是异面直线，对吗？提示不对，是不同在任何一个平面内1如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A平面MNB平面NQPC平
3、面D平面MNPQAMN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.2能确定一个平面的条件是()A空间三个点 B一个点和一条直线C无数个点 D两条相交直线D不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确3根据图，填入相应的符号：A_平面ABC，A_平面BCD，BD_平面ABC，平面ABC平面ACD_.答案AC文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【例1】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，m，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.解(1)点A在平面内，点B不在平面内
4、(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上(3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q.图形分别如图(1)，(2)，(3)所示图(1)图(2)图(3)1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示2要注意符号语言的意义如点与直线的位置关系只能用“”或“”表示，直线与平面的位置关系只能用“”或“”表示3由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别1.如图，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点
5、A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.解(1)点P直线AB；(2)点C直线AB；(3)点M平面AC；(4)点A1平面AC；(5)直线AB直线BC点B；(6)直线AB平面AC；(7)平面A1B平面AC直线AB.点、线共面问题【例2】已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内思路探究四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况解已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，Od，经过d与点
6、O有且只有一个平面.A、B、C分别是d与a、b、c的交点，A、B、C三点在平面内由公理1知a、b、c都在平面内，故a、b、c、d共面(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，abA，经过a、b有且仅有一个平面，B、C.由公理1知c.同理，d，从而有a、b、c、d共面综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内证明点线共面常用的方法1纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内2重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合2一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面解已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a
7、，b，c，l共面证明：法一：ab，a，b确定一个平面，laA，lbB，A，B，故l.又ac，a，c确定一个平面.同理可证l，a且l.过两条相交直线a、l有且只有一个平面，故与重合，即直线a，b，c，l共面法二：由法一得a、b、l共面，也就是说b在a、l确定的平面内同理可证c在a、l确定的平面内过a和l只能确定一个平面，a，b，c，l共面空间两直线位置关系的判定【例3】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：直线A1B与直线D1C的位置关系是_；直线A1B与直线B1C的位置关系是_；直线D1D与直线D1C的位置关系是_；直线AB与直线B1C的位置关系是_思路探究判断两直线
8、的位置关系，主要依据定义判断平行异面相交异面根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C “异面”同理，直线AB与直线B1C “异面”所以都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以应该填“相交”1判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断2判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面3若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()AacBa、c是异面
9、直线Ca、c相交Da、c平行或相交或异面D若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面点共线与线共点问题探究问题1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1C平面ABC1D1E.能否判断点E在平面A1BCD1内？提示如图，连接BD1，A1C平面ABC1D1E，EA1C，E平面ABC1D1.A1C平面A1BCD1，E平面A1BCD1.2上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？提示由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又EBD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线【例4】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD
10、，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线解因为MNEFQ，所以Q直线MN，Q直线EF，又因为M直线CD，N直线AB，CD平面ABCD，AB平面ABCD.所以M，N平面ABCD，所以MN平面ABCD.所以Q平面ABCD.同理，可得EF平面ADD1A1.所以Q平面ADD1A1.又因为平面ABCD平面ADD1A1AD，所以Q直线AD，即D，A，Q三点共线点共线与线共点的证明方法1点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上2三线共点：证明三线
11、共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点4如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上(1)如果EHFGP，那么点P在直线_上(2)如果EFGHQ，那么点Q在直线_上(1)BD(2)AC(1)若EHFGP，那么点P平面ABD，P平面BCD，而平面ABD平面BCDBD，所以PBD.(2)若EFGHQ，则点Q平面ABC，Q平面ACD，而平面ABC平面ACDAC，所以QAC.1判断(正确的打“”，
12、错误的打“”)(1)三点可以确定一个平面()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面()(3)四边形是平面图形()(4)两条相交直线可以确定一个平面()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)错误不共线的三点可以确定一个平面(2)错误一条直线和直线外一个点可以确定一个平面(3)错误四边形不一定是平面图形(4)正确两条相交直线可以确定一个平面2一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A平行或异面B相交或异面C异面D相交B如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1DD1，显然BB1BCB，DD1与BC是异面直线，故选B.3设平面与平面交于直线l，A，B，且直线ABlC，则直线AB_.Cl，ABlC，C，CAB，ABC.4如图，三个平面，两两相交于三条直线，即c，a，b，若直线a和b不平行求证：a，b，c三条直线必过同一点证明b，a，a，b.由于直线a和b不平行，a、b必相交设abP，如图，则Pa，Pb.a，b，P，P.又c，Pc，即交线c经过点P.a，b，c三条直线相交于同一点- 11 - 版权所有高考资源网
