1、基础诊断考点突破基础诊断考点突破第1讲 函数及其表示基础诊断考点突破最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)基础诊断考点突破知 识 梳 理1函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的一个数x，在集合B中都存在的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：AB或，此时x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合f(x)|xA叫作函数的值域数
2、集任何唯一yf(x)xA基础诊断考点突破(2)函数的三要素是：、和对应关系(3)表示函数的常用方法有：、和图像法(4)分段函数若函数在其定义域内，对于的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的，值域是各段值域的定义域值域解析法列表法定义域内并集并集基础诊断考点突破2函数定义域的求法类型x 满足的条件2n fx，nNf(x)01fx与f(x)0logaf(x)四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义f(x)0f(x)0基础诊断考点突破诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)
3、函数 y1 与 yx0 是同一个函数()(2)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点()(3)函数 y x211 的值域是y|y1()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()基础诊断考点突破解析(1)函数 y1 的定义域为 R，而 yx0 的定义域为x|x0，其定义域不同，故不是同一函数(3)由于 x211，故 y x2110，故函数 y x211 的值域是y|y0(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破2(教材改编)若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图像可能
4、是()基础诊断考点突破解析 A中函数定义域不是2,2，C中图像不表示函数，D中函数值域不是0,2答案 B基础诊断考点突破3(2017合肥一模)函数 y1x22x23x2的定义域为()A(，1 B1,1C1,2)(2，)D.1，12 12，1基础诊断考点突破解析 由题意，得1x20，2x23x20.解之得1x1 且 x12.答案 D基础诊断考点突破4(2015陕西卷)设 f(x)1 x，x0，2x，x0，则 f(f(2)等于()A1 B.14 C.12 D.32基础诊断考点突破解析 因为20，所以 f(f(2)f14 11411212，故选 C.答案 C基础诊断考点突破5(2015全国卷)已知函
5、数f(x)ax32x的图像过点(1,4)，则a_.解析 由题意知点(1,4)在函数f(x)ax32x的图像上，所以4a2，则a2.答案 2基础诊断考点突破考点一 求函数的定义域 【例1】(1)(2017郑州调研)函数f(x)ln xx1的定义域为()A(0，)B(1，)C(0,1)D(0,1)(1，)(2)若函数 yf(x)的定义域是1,2 017，则函数 g(x)fx1x1 的定义域是_基础诊断考点突破解析(1)要使函数 f(x)有意义，应满足 xx10，x0，解得 x1，故函数 f(x)ln xx1的定义域为(1，)(2)yf(x)的定义域为1,2 017，g(x)有意义，应满足1x12
6、017，x10.0 x2 016，且 x1.因此 g(x)的定义域为x|0 x2 016，且 x1答案(1)B(2)x|0 x2 016，且x1基础诊断考点突破规律方法 求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解(3)若已知f(x)的定义域为a，b，则f(g(x)的定义域可由ag(x)b求出；若已知f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域基础诊断考点突破【训练 1】(1)(2015湖北卷)函数 f(x)4|x|lgx25x6x3的定义域为()A(2,
7、3)B(2,4C(2,3)(3,4 D(1,3)(3,6(2)若函数 f(x)2x22axa1的定义域为 R，则 a 的取值范围为_基础诊断考点突破解析(1)要使函数 f(x)有意义，应满足4|x|0，x25x6x30，|x|4，x20且x3，则 21)，则 x 2t1，f(t)lg 2t1，即 f(x)lg 2x1(x1)(2)设 f(x)ax2bxc(a0)，由 f(0)2，得 c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx2x1，则 2axabx1，2a1，ab1，即a12，b32.f(x)12x232x2.基础诊断考点突破(3)在 f(x)2f1x x1 中，将 x 换成1
8、x，则1x换成 x，得 f1x 2f(x)1x1，由fx2f1x x1，f1x 2fx1x1，解得 f(x)23 x13.答案(1)lg 2x1(x1)(2)12x232x2(3)23 x13基础诊断考点突破规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法(2)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(3)构造法：已知关于 f(x)与 f1x 或 f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出 f(x)(4)配凑法：由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后
9、以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式基础诊断考点突破【训练 2】(1)已知 f(x1)x2 x，则 f(x)_.(2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)若当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则当1x0 时，f(x)_.(3)定义在(1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)f(x)lg(x1)，则 f(x)_.基础诊断考点突破解析(1)令 x1t，则 x(t1)2(t1)，代入原式得f(t)(t1)22(t1)t21，所以 f(x)x21(x1)(2)当1x0 时，0 x11，由已知 f(x)12f(x1)12x(x1)基础诊断考点突破(3)当 x(1,1)时
10、，有 2f(x)f(x)lg(x1)将 x 换成x，则x 换成 x，得 2f(x)f(x)lg(x1)由消去 f(x)得，f(x)23lg(x1)13lg(1x)，x(1,1)答案(1)x21(x1)(2)12x(x1)(3)23lg(x1)13lg(1x)(1x1)基础诊断考点突破考点三 分段函数(多维探究)命题角度一 求分段函数的函数值【例 31】(2015全国卷)设函数 f(x)1log22x，x1 f(log212)2(log2121)2log266，因此f(2)f(log212)369.答案 C基础诊断考点突破命题角度二 求参数的值或取值范围【例 32】(1)(2015山东卷)设函数
11、 f(x)3xb，x1，2x，x1.若 ff56 4，则 b()A1 B.78C.34D.12(2)(2014全国卷)设函数 f(x)则使得 f(x)2 成立的x 的取值范围是_基础诊断考点突破解析(1)f56 356b52b，若52b32时，则 ff56 f52b 352b b4，解之得 b78，不合题意舍去若52b1，即 b32，则b4，解得 b12.基础诊断考点突破(2)当 x1 时，ex12，解得 x1ln 2，所以 x1，且 f(a)3，则 f(6a)()A74B54C34D14(2)(2017 南京、盐城模拟)已知函数 f(x)x21，x0，x12，x0，则不等式 f(x)1 的解
12、集是_基础诊断考点突破解析(1)当 a1 时，f(a)2a123，即 2a11，不成立，舍去；当 a1 时，f(a)log2(a1)3，即 log2(a1)3，解得 a7，此时 f(6a)f(1)22274.故选 A.基础诊断考点突破(2)当 x0 时，由题意得x211，解之得4x0.当 x0 时，由题意得(x1)21，解之得 0 x2，综上 f(x)1 的解集为x|4x2答案(1)A(2)x|4x2基础诊断考点突破思想方法1在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同2函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图像的基础因此，我们一定要树立函数定义域优先意识3函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法4分段函数问题要用分类讨论思想分段求解基础诊断考点突破易错防范1复合函数fg(x)的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混2易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数3分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.
