1、基础诊断考点突破第2讲 综合法、分析法、反证法基础诊断考点突破最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点基础诊断考点突破知 识 梳 理1直接证明内容综合法分析法基础诊断考点突破定义从命题的出发，利用，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的，直到完成命题的证明我们把这样的思维方法称为综合法.从出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等我们把这样的思维方法称为分析法条件定义、公理、定理及运算法则结论求证的结论充分条件基础诊断考点突破实
2、质由因导果执果索因框图表示PQ1 Q1Q2 QnQQP1 P1P2 得到一个明显成立的条件文字语言因为所以或由得要证只需证即证基础诊断考点突破2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法(1)反证法的定义：在假定命题结论的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法(2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立反面成立基础诊断考点突破诊 断
3、自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(2)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()基础诊断考点突破解析(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件(2)应假设“ab”(3)反证法只否定结论答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破2要证 a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20 Ba2b21a4b420C.ab221a2b20 D(a21)
4、(b21)0解析 a2b21a2b20(a21)(b21)0.答案 D基础诊断考点突破3若 a，b，c 为实数，且 ab0，则下列命题正确的是()Aac2abb2C.1aab解析 a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又 abb2b(ab)0，abb2，由得 a2abb2.答案 B基础诊断考点突破4用反证法证明命题：“设 a，b 为实数，则方程 x3axb0 至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程 x3axb0 没有实根B方程 x3axb0 至多有一个实根C方程 x3axb0 至多有两个实根D方程 x3axb0 恰好有两个实根解析 因为“方程 x3axb0 至少有一个实根”等价于“
5、方程 x3axb0 的实根的个数大于或等于 1”，所以要做的假设是“方程 x3axb0 没有实根”答案 A基础诊断考点突破5(教材改编)在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A，B，C 成等差数列，a，b，c 成等比数列，则ABC 的形状为_解析 由题意 2BAC，又 ABC，B3，又 b2ac，由余弦定理得 b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC3，ABC 为等边三角形答案 等边三角形基础诊断考点突破考点一 综合法的应用 【例 1】(2017东北三省三校模拟)已知 a，b，c0，abc1.求证：(1)a b
6、c 3；(2)13a113b113c132.证明(1)(a b c)2(abc)2 ab2 bc2 ca(abc)(ab)(bc)(ca)3，a b c 3.基础诊断考点突破(2)a0，3a10，43a1(3a1)243a13a14，43a133a，同理得43b133b，43c133c，以上三式相加得413a113b113c1 93(abc)6，13a113b113c132.基础诊断考点突破规律方法 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论
7、的题型在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱基础诊断考点突破【训练 1】设 a，b，c 均为正数，且 abc1，证明：(1)abbcac13；(2)a2b b2c c2a1.证明(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac 得a2b2c2abbcca.由题设知(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即 abbcca13.基础诊断考点突破(2)因为 a0，b0，c0，所以a2b b2a，b2c c2b，c2aa2c，故a2b b2c c2a(abc)2(abc)，即a2b b2c c2aabc.所以a2b b2c c2
8、a1.基础诊断考点突破考点二 分析法的应用【例 2】已知 a0，证明：a2 1a2 2a1a2.证明 要证a21a2 2a1a2，只需证a21a2a1a(2 2)基础诊断考点突破因为 a0，所以a1a(2 2)0，所以只需证a21a22a1a 2 2 2，即 2(2 2)a1a 84 2，只需证 a1a2.因为 a0，a1a2 显然成立a1a1时等号成立，所以要证的不等式成立基础诊断考点突破规律方法(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或
9、充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.基础诊断考点突破【训练 2】ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，A，B，C 的对边分别为 a，b，c.求证：1ab 1bc3abc.基础诊断考点突破证明 要证 1ab 1bc3abc，即证abcab abcbc 3 也就是 cab abc1，只需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证 c2a2acb2，又ABC 三内角 A，B，C 成等差数列，故 B60，由余弦定理，得 b2c2a22acos 60，即 b2c2a2ac，故 c2a2acb2 成立于是原等式成立基础诊断考点突破考点三 反证法的应用【例 3】等差
10、数列an的前 n 项和为 Sn，a11 2，S393 2.(1)求数列an的通项 an 与前 n 项和 Sn；(2)设 bnSnn(nN)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1)解 由已知得a1 21，3a13d93 2，解得 d2，故 an2n1 2，Snn(n 2)基础诊断考点突破(2)证明 由(1)得 bnSnn n 2.假设数列bn中存在三项 bp，bq，br(p，q，rN，且互不相等)成等比数列，则 b2qbpbr.即(q 2)2(p 2)(r 2)(q2pr)2(2qpr)0.p，q，rN，q2pr0，2qpr0.pr22pr，(pr)20.pr，与 pr 矛盾数
11、列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列基础诊断考点突破规律方法(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等(2)用反证法证明不等式要把握三点：必须否定结论；必须从否定结论进行推理；推导出的矛盾必须是明显的基础诊断考点突破【训练 3】(2017郑州一中月考)已知 a1a2a3a4100，求证：a1，a2，a3，a4 中至少有一个数大于 25.证明 假设 a1，a2，a3，a4 均不大于 25，即 a125，a225，a325，a425，则
12、 a1a2a3a425252525100，这与已知 a1a2a3a4100 矛盾，故假设错误所以 a1，a2，a3，a4 中至少有一个数大于 25.基础诊断考点突破思想方法分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来基础诊断考点突破易错防范1用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论2在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.
