1、初等几何变换(一) 主讲:刘汉斌基础知识:平面几何证明题历来是各届数学竞赛的热点之一。1989年中国数学会普委会明确规定:初、高中数学竞赛第二试中各出三道题,其中应有一道平面几何综合证明题。几何变换是几何内容的核心,大家都知道:作辅助线是初等几何证明的难点,很多情况下,辅助线的作法恰恰是变换的结果。我们称集合M到自身的一一对应为一个变换。初等几何中只讨论平面上的平移、对称、旋转、相似等几种变换。一、 平移变换1 定义 设是一条给定的有向线段,T是平面上的一个变换,它把平面图形F上任一点X变到X,使得=,则T叫做沿有向线段的平移变换。记为XX,图形FF 。2主要性质 在平移变换下,对应线段平行且
2、相等,直线变为直线,三角形变为三角形,圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行(共线)且相等。二、 轴对称变换1 定义 设l是一条给定的直线,S是平面上的一个变换,它把平面图形F上任一点X变到X,使得X与X关于直线l对称,则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为XX,图形FF 。2 主要性质 在轴对称变换下,对应线段相等,对应直线(段)或者平行,或者交于对称轴,且这两条直线的夹角被对称轴平分。例题:【例1】 P是平行四边形ABCD内一点,且PAB=PCB。求证:PBA=PDA。【例2】 如图左:线段AA,BB,CC交于点O,AA=BB=CC=2,AOB=BOC=60。图2求证:AOB+BOC+COA2AD。