1、2016-2017学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）下列命题中的假命题是（）AxR，lgx=0BxR，tanx=1CxR，x30DxR，2x02（5分）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶D两次都不中靶3（5分）“k0”是“方程+=1表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的
2、小球n个若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，则n=（）A2B3C4D55（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A4B5C7D86（5分）若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为（）A8B15C16D327（5分）双曲线=1的渐近线与圆（x3）2+y2=r2（r0）相切，则r=（）A2BC3D68（5分）在区间0，1上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x2+ax+b2无零点的概率为（）ABCD9（5分）程序框图如图所示，当时，输出的k的值为（）A11B12C13D1410（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的
3、一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（AB）=（）ABCD11（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A（0，1）B（0，C（0，）D，1）12（5分）在三棱锥PABC中，D为底面ABC的边AB上一点，M为底面ABC内一点，且满足，则三棱锥PAMD与三棱锥PABC的体积比为（）ABCD二填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）若抛物线的焦点在直线x2y4=0上，则此抛物线的标准方程是14（5分）某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：产量x（千件）2356
4、成本y（万元）78912则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为15（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为=（2，2，1），已知点P（1，3，2），则点P到平面OAB的距离d等于16（5分）已知函数f（x）=4|a|x2a+1若命题：“x0（0，1），使f（x0）=0”是真命题，则实数a的取值范围为三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知集合A=y|y=x2x+1，x，2，B=x|x+m21，若“xA”是“xB”的充分条件，求实数m的取值范围18（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是50，60
5、），60，70），70，80），80，90），90，100（）求图中a的值；（）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在50，90）之外的人数分数段50，60）60，70）70，80）80，90）x：y1：12：13：44：519（12分）从抛物线y2=32x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E（）求轨迹E的方程；（）已知直线l：y=k（x2）（k0）与轨迹E交于A，B两点，且点F（2，0），若|AF|=2|BF|，求弦AB的长20（12分）已知椭圆的两焦点为F1（1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=
6、|PF1|+|PF2|（1）求此椭圆的方程；（2）若点P在第二象限，F2F1P=120，求PF1F2的面积21（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是边长为2的等边三角形，AA1平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点（1）求证：CE平面A1BD；（2）若H为A1B上的动点，当CH与平面A1AB所成最大角的正切值为时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值22（12分）已知点F（1，0），直线l：x=1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知，求1+2的值201
7、6-2017学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列命题中的假命题是（）AxR，lgx=0BxR，tanx=1CxR，x30DxR，2x0【考点】命题的真假判断与应用【分析】A、B、C可通过取特殊值法来判断；D、由指数函数的值域来判断【解答】解：A、x=1成立；B、x=成立；D、由指数函数的值域来判断对于C选项x=1时，（1）3=10，不正确故选C【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易题2一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的
8、互斥事件是（）A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶D两次都不中靶【考点】互斥事件与对立事件【分析】利用互斥事件的概念求解【解答】解：“至多有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故A错误；“两次都中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故B错误；“只有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故C错误；“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确故选：D【点评】本题考查互斥事件的判断，是基础题，解题时要熟练掌握互斥事件的概念3“k0”是“方程+=1表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充
9、要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的方程进行判断即可【解答】解：若方程+=1表示双曲线，则k（1k）0，即k（k1）0，解得k1或k0，即“k0”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的定义和方程是解决本题的关键4袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，则n=（）A2B3C4D5【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】利用等可能事件概率计算公式能求出结果【解答】解：袋子中放有大小和形状相
10、同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，由题意知：，解得n=2故选：A【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用5已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A4B5C7D8【考点】椭圆的简单性质【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m210m，即m6，解得m=8故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了6若样本数据x1，x2，x10的标准差
11、为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为（）A8B15C16D32【考点】极差、方差与标准差【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可【解答】解：样本数据x1，x2，x10的标准差为8，=8，即DX=64，数据2x11，2x21，2x101的方差为D（2X1）=4DX=464，则对应的标准差为=16，故选：C【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键7双曲线=1的渐近线与圆（x3）2+y2=r2（r0）相切，则r=（）A2BC3D6【考点】双曲线的简单性质【分析】求得圆的圆心和半径r，双曲线的渐近
12、线方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，计算即可得到所求值【解答】解：圆（x3）2+y2=r2的圆心为（3，0），半径为r，双曲线=1的渐近线方程为y=x，由直线和圆相切的条件：d=r，可得r=2故选：A【点评】本题考查直线和圆相切的条件：d=r，同时考查双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题8在区间0，1上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x2+ax+b2无零点的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】函数f（x）=x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论【解答】解：a，b是区间0，1上的两个数，a，b对应区域面积为11=
13、1若函数f（x）=x2+ax+b2无零点，则=a24b20，对应的区域为直线a2b=0的上方，面积为1=，则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决本题的关键9程序框图如图所示，当时，输出的k的值为（）A11B12C13D14【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行可得程序框图的功能，用裂项法可求S的值，进而解不等式可求k的值【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=+时k的值，由于：S=+=（1）+（）+（）=1=，所以：由，解得：k12，所以：当时，输出的k的值为12故选：B【
14、点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题10抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（AB）=（）ABCD【考点】互斥事件的概率加法公式【分析】P（AB）=P（A）+P（B）P（AB），由此能求出结果【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，P（A）=，P（B）=，P（AB）=，P（AB）=P（A）+P（B）P（AB）=故选：C【点评】本题考查概率的求法，
15、是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用11已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A（0，1）B（0，C（0，）D，1）【考点】椭圆的应用【分析】由=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆又M点总在椭圆内部，cb，c2b2=a2c2由此能够推导出椭圆离心率的取值范围【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，=0，M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆又M点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即cb，c2b2=a2c2e2=，0e故选：C【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意
16、公式的选取，认真解答12在三棱锥PABC中，D为底面ABC的边AB上一点，M为底面ABC内一点，且满足，则三棱锥PAMD与三棱锥PABC的体积比为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意画出图形，结合向量等式可得AD=，DM=，且ABC=ADM，进一步得到ADM与ABC面积的关系得答案【解答】解：如图，设三棱锥PABC的底面三角形ABC的面积为S，高为h，AD=，DM=，且ABC=ADM，=故选：D【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查平面向量在求解立体几何问题中的应用，是中档题二填空题：本大题共4小题，每小题5分13若抛物线的焦点在直线x2y4=0上，则此抛物线的标
17、准方程是y2=16x或x2=8y【考点】抛物线的标准方程【分析】分焦点在x轴和y轴两种情况分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标准形式可得答案【解答】解：当焦点在x轴上时，根据y=0，x2y4=0可得焦点坐标为（4，0）抛物线的标准方程为y2=16x当焦点在y轴上时，根据x=0，x2y4=0可得焦点坐标为（0，2）抛物线的标准方程为x2=8y故答案为：y2=16x或x2=8y【点评】本题主要考查抛物线的标准方程属基础题14某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：产量x（千件）2356成本y（万元）78912则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为=1.10x+4.60【考点】线性回
18、归方程【分析】根据表中数据先求出平均数，再由公式求出a，b的值，即可写出回归直线方程【解答】解：由题意，计算=（2+3+5+6）=4，=（7+8+9+12）=9，b=1.10，且回归直线过样本中心点（，），a=91.104=4.60，故所求的回归直线方程为： =1.10x+4.60故答案为： =1.10x+4.60【点评】本题考查了利用公式求线性回归直线方程的应用问题，是基础题目15在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为=（2，2，1），已知点P（1，3，2），则点P到平面OAB的距离d等于2【考点】点、线、面间的距离计算；空间两点间的距离公式【分析】直接利用空间点到平面的距离公
19、式求解即可【解答】解：平面OAB的一个法向量为=（2，2，1），已知点P（1，3，2），则点P到平面OAB的距离d=2故答案为：2【点评】本题考查空间点、线、面距离的求法，公式的应用，是基础题16已知函数f（x）=4|a|x2a+1若命题：“x0（0，1），使f（x0）=0”是真命题，则实数a的取值范围为【考点】特称命题；命题的真假判断与应用【分析】由于f（x）是单调函数，在（0，1）上存在零点，应有f（0）f（1）0，解不等式求出数a的取值范围【解答】解：由：“x0（0，1），使f（x0）=0”是真命题，得：f（0）f（1）0（12a）（4|a|2a+1）0或故答案为：【点评】本题考查函数的
20、单调性、单调区间，及函数存在零点的条件三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）（2016秋惠州期末）已知集合A=y|y=x2x+1，x，2，B=x|x+m21，若“xA”是“xB”的充分条件，求实数m的取值范围【考点】充分条件【分析】先求二次函数在区间，2上的值域，从而解出集合A，在解出集合B，根据“xA”是“xB”的充分条件即可得到关于m的不等式，从而解不等式即得实数m的取值范围【解答】解：y=；该函数在上单调递增，x=2时，y=2；，B=x|x1m2；xA是xB的充分条件；解得m，或m；实数m的取值范围为【点评】考查二次函数在闭区间上的值域的求法，描述法表示集合，以及
21、充分条件的概念，解一元二次不等式18（12分）（2016秋惠州期末）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（）求图中a的值；（）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在50，90）之外的人数分数段50，60）60，70）70，80）80，90）x：y1：12：13：44：5【考点】频率分布直方图【分析】（）根据频率和为1列出方程即可求出a的值；（）利用表中数据计算数学成绩在50，90）内的人数，再求在50，90）之外的人数【
22、解答】解：（）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005，所以图中a的值为0.005；（）数学成绩在50，60）的人数为：1000.051=5（人）；数学成绩在60，70）的人数为：1000.4=20（人）；数学成绩在70，80）的人数为：1000.3=40（人）；数学成绩在80，90）的人数为：1000.2=25（人）；所以数学成绩在50，90）之外的人数为：1005204025=10（人）【点评】本题考查频率分布直方图的应用问题，也考查了识图、用图的能力，是基础题目19（12分）（2016秋惠州期末）从抛物线y2=32
23、x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E（）求轨迹E的方程；（）已知直线l：y=k（x2）（k0）与轨迹E交于A，B两点，且点F（2，0），若|AF|=2|BF|，求弦AB的长【考点】轨迹方程【分析】（）先设出垂线段的中点为M（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可；（）根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出弦AB的长【解答】解：（）设垂线段的中点M（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，D（x0，0），因为M是PD的中点，所以x0=x，y=y0，有x0=x，y0=2y，因为点P在抛物线
24、上，所以y02=32x，即4y2=32x，所以y2=8x，所求点M轨迹方程为：y2=8x（）抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），准线方程为x=2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|=2|BF|，x1+1=2（x2+1），x1=2x2+1|y1|=2|y2|，x1=4x2，x1=2，x2=，|AB|=x1+x2+p=+4=【点评】本题主要考查求轨迹方程的方法，考查学生分析解决问题的能力，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键，属于中档题20（12分）（2016秋惠州期末）已知椭圆的两焦点为F1（1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1
25、|+|PF2|（1）求此椭圆的方程；（2）若点P在第二象限，F2F1P=120，求PF1F2的面积【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的应用【分析】（1）根据2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，求出a，结合焦点坐标求出c，从而可求b，即可得出椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得P的坐标，利用三角形的面积公式，可求PF1F2的面积【解答】解：（1）依题意得|F1F2|=2，又2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，|PF1|+|PF2|=4=2a，a=2，c=1，b2=3所求椭圆的方程为+=1（2）设P点坐标为（x，y），F2F1P=120，PF1所在直线的方程为y=（x+1）tan
26、120，即y=（x+1）解方程组并注意到x0，y0，可得（6分）SPF1F2=|F1F2|=（8分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键21（12分）（2013广州一模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是边长为2的等边三角形，AA1平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点（1）求证：CE平面A1BD；（2）若H为A1B上的动点，当CH与平面A1AB所成最大角的正切值为时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法【分析】（1）通过补形，延
27、长延长A1D交AC的延长线于点F，连接BF，从而可证明CEBF，然后由线面平行的判定定理得证；（2）由已知找出C点在平面A1AB上的射影CE，CE为定值，要使直线CH与平面A1AB所成最大角的正切值为，则点H到E点的距离应最小，由此得到H的位置，进一步求出EH的长度，则在直角三角EHB中可得到BH的长度，利用已知条件证出BF平面A1AB，从而得到EBH为平面A1BD与平面ABC所成的二面角，在直角三角形EHB中求其余弦值本题也可以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决【解答】法一、（1）证明：如图，延长A1D交AC的延长线于点F，连接BFCDAA1，且CD=AA1，C为AF的中点E
28、为AB的中点，CEBFBF平面A1BD，CE平面A1BD，CE平面A1BD（2）解：AA1平面ABC，CE平面ABC，AA1CEABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，CEAB，AB平面A1AB，AA1平面A1AB，ABAA1=A，CE平面A1ABEHC为CH与平面A1AB所成的角，在RtCEH中，tan，当EH最短时，tanEHC的值最大，则EHC最大当EHA1B时，EHC最大此时，tan=CEBF，CE平面A1AB，BF平面A1ABAB平面A1AB，A1B平面A1AB，BFAB，BFA1BABA1为平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）在RtEHB中， =，cosABA1=平面A
29、1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为法二、（1）证明：如图，取A1B的中点F，连接DF、EFE为AB的中点，EFAA1，且CDAA1，且CD=AA1，EFCD，EF=CD四边形EFDC是平行四边形CEDFDF平面A1BD，CE平面A1BD，CE平面A1BD（2）解：AA1平面ABC，CE平面ABC，AA1CEABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，CEAB，AB平面A1AB，AA1平面A1AB，ABAA1=A，CE平面A1ABEHC为CH与平面A1AB所成的角，在RtCEH中，tan，当EH最短时，tanEHC的值最大，则EHC最大当EHA1B时，EHC最大此时，tan=在Rt
30、EHB中，RtEHBRtA1AB，即AA1=4以A为原点，与AC垂直的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz则A（0，0，0），A1（0，0，4），B，D（0，2，2）=（0，0，4），=， =（0，2，2）设平面A1BD的法向量为n=（x，y，z），由， ，得，令y=1，则平面A1BD的一个法向量为n=AA1平面ABC， =（0，0，4）是平面ABC的一个法向量cos=平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为【点评】本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以
31、及化归与转化的数学思想方法是中档题22（12分）（2007福建）已知点F（1，0），直线l：x=1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知，求1+2的值【考点】平面向量数量积的运算；轨迹方程；抛物线的定义；抛物线的简单性质【分析】解法一：（1）我们可设出点P的坐标（x，y），由直线l：x=1，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，则Q（1，y），则我们根据，构造出一个关于x，y的方程，化简后，即可得到所求曲线的方程；（2）由过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，我们可以设出直线的点斜式
32、方程，联立直线方程后，利用设而不求的思想，结合一元二次方程根与系数关系，易求1+2的值解法二：（1）由得，进而可得根据抛物线的定义，我们易得动点的轨迹为抛物线，再由直线l（即准线）方程为：x=1，易得抛物线方程；（2）由已知，得120根据抛物线的定义，可们可以将由已知，转化为，进而求出1+2的值【解答】解：法一：（）设点P（x，y），则Q（1，y），由得：（x+1，0）（2，y）=（x1，y）（2，y），化简得C：y2=4x（）设直线AB的方程为：x=my+1（m0）设A（x1，y1），B（x2，y2），又，联立方程组，消去x得：y24my4=0，=（4m）2+160，故由，得：，整理得：，=0法二：（）由得：，所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x（）由已知，得120则：过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，则有：由得：，即1+2=0【点评】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力
