1、4.3.3等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学 习 任 务核 心 素 养1掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点)2会用错位相减法求数列的和(重点)3能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题1通过对等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养2借助对等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养甲、乙二人约定在一个月(按30天)内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还两分，即后一天返还的钱是前一天的两倍问谁赢谁亏？知识点1等比数列前n项和公式类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?提示可把等比数
2、列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)求等比数列an的前n项和时可直接套用公式Sn来求()(2)等比数列的前n项和公式可以简写成SnAqnA(q1)()(3)1xx2xn()提示(1)和(3)中应注意q1的情况答案(1)(2)(3)2已知等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则()A3B4CDC已知等比数列an的首项为a1，则知识点2错位相减法一般地，等比数列an的前n项和可写为：Sna1a1qa1q2a1qn1，用公比q乘的两边，可得qSna1qa1q2a1qn1a1qn，由，得(1q)Sna1a1qn，整理得Sn(q1)我们把上述方法叫错位相
3、减法，一般适用于数列anbn前n项和的求解，其中an为等差数列，bn为等比数列，且q1 类型1等比数列基本量的运算【例1】已知等比数列an(1)S230，S3155，求Sn；(2)a1a310，a4a6，求S5；(3)a1an66，a2an1128，Sn126，求q解(1)由题意知解得或从而Sn5n1或Sn(2)法一：由题意知解得从而S5法二：由(a1a3)q3a4a6，得q3，从而q又a1a3a1(1q2)10，所以a18，从而S5(3)因为a2an1a1an128，所以a1，an是方程x266x1280的两根从而或又Sn126，所以q为2或1在等比数列 an的五个量a1，q，an，n，Sn
4、中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用2在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论跟进训练1已知数列an是首项为a1，公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S24S4，求公比q的值解当q1时，由5S24S4知10a116a1，则a10，不合题意，故q1当q1时，由5S24S4知，5(1q2)4(1q4)解得1q2，即q 类型2等比数列前n项和公式的实际应用【例2】借贷10 000元，以月利率为1%每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付
5、多少元？(1.0161.061，1.0151.051)思路探究解决等额还贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列？首项是什么？公比或公差是多少？解法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a0(11.011.0
6、15)a由题意，可知a60，即1.016a0(11.011.015)a0，a1.0161.061，a1 739故每月应支付1 739元法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1104(10.01)61041.016(元)另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4aa(1.0161)102(元)由S1S2，得a1.0161.061，解得a1 739，故每月应支付1 739元解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是
7、等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意项数是多少弄清题目中主要的已知事项(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式跟进训练2某人在年初用16万元购买了一辆家用轿车，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付多少元？解余款10万元6年的本利和是105(10.1)61051.16设每年年底应支付款为a元，支付6次的本利和应是aa(10.1)a(10.1)2a(10.1)5a1
8、0a(1.161)由1051.1610a(1.161)得a22 960(元)每年年底应支付22 960元 类型3错位相减法求和【例3】设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知a1b12，b2a2，b3a24(1)求和的通项公式；(2)记cn，nN*，证明：c1c2cn0由题意，得解得 故an22(n1)2n，bn22n12n(2)证明：cn，设数列的前n项和为Sn，Sn，Sn，得：Sn1，Sn2，又nN*，0，0，Sn22，即c1c2cn2，nN*1(变条件)本例题(2)中设cnanbn，求数列cn的前n项和Sn解由题意知cnn2n，所以Sn121222323(n2)2n2(n1)2n1n2
9、n，2Sn122223324(n2)2n1(n1)2nn2n1，两式相减得：Sn1212223242n12nn2n1n2n1(1n)2n12，所以Sn(n1)2n122(变条件)本例题中设dn，求数列dn的前n项和Tn解由题意可得：Tn13(2n1)，Tn13(2n3)(2n1)，两式相减得Tn122(2n1)(2n1)，所以Tn33错位相减法的适用条件及注意事项若数列an为等差数列，数列bn为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为anbn，当求该数列的前n项和时，常常采用将anbn的各项乘公比q，并向后错位一项与anbn的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法
10、称为错位相减法若公比为字母，则需对其进行分类讨论1已知等比数列an的首项a13，公比q2，则S5等于()A93B93C45D45AS5932设Sn为等比数列an的前n项和，若27a4a70，则()A10B9C8D5A设等比数列an的公比为q，由27a4a70，得a4(27q3)0因为a40，27q30，则q3，故1q219103已知等比数列an的前n项和Sn2n1，则aaa等于()A(2n1)2 B(2n1)C4n1 D(4n1)DSn2n1，n2时，anSnSn12n1，当n1时，a1211211，故an2n1，a4n1aaa(4n1)4在公比为整数的等比数列an中，如果a1a418，a2a
11、312，则这个数列的前8项之和S8_510a1a4a1(1q3)18，a2a3a1(qq2)12，两式联立解得q2或，而q为整数，所以q2，a12，代入公式求得S85105一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80% 这个热气球上升的高度能超过125 m吗？解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为Sna1a2an125125故这个热气球上升的高度不可能超过125 m回顾本节知识，自我完成以下问题：1等差数列的前n项和公式是什么？提示(1)已知首项a1、公比q与项数n，则Sn(2)已知首项a1、末项an与公比q，则Sn2 若cnanbn，其中an、bn分别是等差数列、等比数列，如何求数列cn的前n项和？提示用错位相减法