1、第二章平面向量2.3.1 向量数量积的物理背景与定义人教B版必修4计算下列各式a4)3)(1(ababa)(2)(3)2(a12b5)23()32)(3(cbacbacba25 课前小测)()()(4(2121bcttbcttctbt2122复习思考:向量的加法向量的减法实数与向量的乘法两个向量的数量积运算结果向量向量向量学习目标 1、掌握平面向量数量积的物理 背景；3、掌握平面向量数量积的定义性质及几何意义。2、理解一个向量在另一个向量 方向上的正投影的概念；s我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）W=|F|S|cos 其中是F与S的夹角F功是一个标量，是一个数量，它由
2、力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？力F所做的功W应当怎样计算？新课引入：一、力做功的计算以计算力做功为背景，我们引入向量的数量积的概念。力做功的计算，涉及到两个概念：两个向量的夹角向量在轴上的射影二、两个向量的夹角1、向量的夹角的概念两个非零向量和，作，ab,OAa OBb与反向abOABabOAa0 与同向abOABabaBbbAOBab则叫做向量和的夹角记作 ab2 与垂直，abOAB ab注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的,a b记作特殊情况：(0)怎样找向量的夹角?做一做:如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；
3、（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！12060C说明（1）,a bb a（2）在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。物理上力所做的功实际上是将力正 交分解，只有在位移方向上的力做功sFcosFF其中就是 在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正射影的数量。三、向量在轴上的正射影什么是向量的正射影？什么是向量的正射影的数量呢？阅读课本108页,看图回答问题。向量a在l上的正射影是什么？向量a在l上的正射影的数量是什么?坐标呢？怎样表示？a1AaA1O1lxOcos,laaa l向量a在向量b上的数量怎样表示 已知轴l,如图在，求（1）向量上的正射影的数量5,
4、60OAOA lOA l1OA；ABOB1A1l12060（2）向量5,120,OBOB l求 OB在 l上的正射影的数量1;OB1155cos60522OA解：（1）15cos1205cos6015522OB（2）上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（夹角为与若abbababababa000012041203902301,8|,4|2 3024练一练记作定义cos,a ba b 叫作向量和的数量积（或内积），aba b,即cos,aba ba b（1）零向量与任意向量的数量积为0，00a即（2）这是一种新的运算法则，“.”不能省略不写，a b不能写成
5、ab，ab 表示向量的另一种运算（4）在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是 0 表示数量而不表示向量,决定其结果有三个量，这是与实数乘法的最大区别。ba（3）四、向量的数量积的定义说明判断下列命题是否正确()()()()()()做一做1.若a=0,则对任意向量b，有a b=0.2.若a0,则对任意非零向量b，有a b0.3.若a0,且a b=0,则b=0.4.若ab=0，则a=0或b=0.5.对任意的向量a，有a2=a2.6.若a0,且a b=a c,则b=c.ab=|a|b|7.()两非零向量 与 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正，也可以为负，还可以为零，请说
6、出什么时候为正，什么时候为负，什么时候为零？ab你能根据正投影的定义解释 的几何意义？cos|babacos,a ba ba b小组讨论结论 当时，它为正值；000,90a bOABab1B为锐角时，|b|cos 0OABab)(1B为直角时，|b|cos =0为钝角时，|b|cos 0BOAab1B当90180时，它为负值,a b当=90时，它为0；,a b,a b,a b,a b当夹角为和180，结果是什么呢？00平面向量数量积 a b的几何意义向量 a 与b 的数量积等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的正射影的数量|b|cos的积.BB1OAab还有其它说法吗？过A点作OB的垂线，
7、其几何意义怎样表述呢？想一想：由向量数量积的定义，试完成下面问题：_._.(3)|_|.()aba ba baba baba aa ba b ；反；若与 同向,若与向,填或(1)(2)0|a b|a b2|a(4)cos,a b(0)|a ba ba b练一练：(5)a ee a cos,aa ea a a(4)cos=(a b)/(|a|b|).(3)当a与b同向时,a b=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地,a a(或写成 a 2)=|a|2或|a|=a a设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角,则ab=/2cos=0(1)e a=a e=|a
8、|cos.|a|b|cos=0 a b=0向 量 a 与 b 共 线|a b|=|a|b|a b=|a|b|cos(5)|a b|a|b|.(2)ab a b=0.3、向量数量积的性质例题讲解例1已知|a|=5，|b|=4，求a b.,120a b 解:120cos4510)21(45cos,a ba ba b例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。解：|a|=2,|b|=2,=45 ab=|a|b|cos=22cos45=2ABC8760120看谁做的快练习1：练习A,18,7,60BCCACBC CA求练习2：在ABC中答案：-28例3、045224428|cos可得解：由bab
9、a看谁做的快：练习A,2求向量夹角的方法的夹角与求，bababa284|4|cos|a ba b2(1)|2aa，2(2)|10aa，2(3)|8aa，224210100286422(4)|,|4|aaa，24a 22|aa4222(5)|,|7|aaa，27a 7求向量模的方法例4、看谁做的快我们学到了什么？课堂小结向量的夹角向量在轴上的正射影向量的数量积的定义，几何意义，性质。共起点cos,laaa lcos,a ba ba b向量 a 与b 的数量积等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的正射影的数量|b|cos的积.数量积的性质（1）e a=a e=|a|cos（2）aba b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a 与b 同向时，a b=|a|b|，当a 与b 反向时,a b=|a|b|.特别地 (用于计算向量的模)aaaaaa|2 或（4）|cosbaba（5）|a b|a|b|设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(用于计算向量的夹角)
