1、4.3 平面向量的数量积及平面向量的应用 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 4.3 平面向量的数量积及平面向量的应用双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1两个向量的夹角(1)夹角的定义定义范围已知两个_向量a，b，作a，b，则AOB叫作向量a与b的夹角(如图)向量夹角的范围是_ 当_时，两向量共线；当_时，两向量垂直，记作ab(规定零向量可与任一向量垂直).，OAOB0或18090非零0，180(2)射影的定义设是a与b的夹角，则_叫作b在a方向上的射影_叫作a在b方向上的射影射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量当_时，它是正值；当_时，它是负值；当_时，它是0.(90，18
2、090|b|cos|a|cos0，90)提示：不正确求两个向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a与b的夹角为ABC.1在ABC 中，设 ABa，B Cb，则向量 a 与b 的夹角为ABC 是否正确？思考感悟(1)向量的数量积的定义已知两个向量 a 和 b，它们的夹角为，把_叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab|a|b|cos.(2)向量数量积的性质若 e 是单位向量，则 eaae_.若 ab，则_；反之，若 ab0，则_，记作 abab0.|a|aa.|a|b|cos|a|cosab0abcos_对任意两个向量a、b，有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立(3)向量数
3、量积的运算律给定向量a，b，c和实数，有abba；(交换律)(a)b(ab)_；(数乘结合律)a(bc)_(分配律)a(b)abacab|a|b|(|a|b|0)思考感悟2当a0时，由ab0一定有b0吗？提示：不一定ab0有三种情形；a0；b0；ab即a与b的夹角为90.3平面向量数量积的坐标运算(1)平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和x1x2y1y2(2)向量模的坐标表示若 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|A B|_(两点间距离公式)若 a(x，y)，则|a|2_，|a|x2y2.(3)两
4、向量夹角的余弦公式设 a、b 是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a 与 b 的夹角，则有 cos_.x2x12y2y12x2y2x1x2y1y2x21y21x22y22(4)两个向量垂直的充要条件设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.(5)直线的方向向量把与直线l共线的向量m称为直线l的方向向量，设直线方程为ykxb，则其方向向量为m_设直线方程为AxByC0，则其方向向量为m_，利用直线的方向向量可以表示过定点的直线方程、求两直线的夹角等，这给我们处理解析几何问题增加了一条新途径x1x2y1y20(1，k)(B，A)解析：选B.ab，ab0，6x560，x5.课前热
5、身1已知向量 a(x,6)，b(6,5)，若 ab，则 x 的值为()A365 B5C5 D.3652(原创题)若a0，ab0，则满足条件的b的个数是()A0 B1C2 D无数个解析：选D.只要ba即可，故b有无数个答案：C3(2010 年高考课标全国卷)a，b 为平面向量，已知 a(4,3)，2ab(3,18)，则 a，b 夹角的余弦值等于()A.865B 865C.1665D1665答案：34(2009 年高考江苏卷)已知向量 a 和向量 b 的夹角为30，|a|2，|b|3，则向量 a 和向量 b 的数量积 ab_.答案：25(教材习题改编)已知ABC 中，|A B|2，|B C|2，A
6、BC45，则 ABB C_.向量的数量积是向量之间的一种运算，它是向量与向量的运算，结果却是一个数量平面向量的数量积运算类似于多项式的乘法平面向量数量积的运算考点探究挑战高考 考点突破(1)(2010年高考北京卷)若a，b是非零向量，且ab，|a|b|，则函数f(x)(xab)(xba)是()A一次函数且是奇函数B一次函数但不是奇函数C二次函数且是偶函数D二次函数但不是偶函数例1(2)(2010 年高考湖南卷)在 RtABC 中，C90，AC4，则AB AC 等于()A16 B8C8 D16(3)(2010 年高考重庆卷)已知向量 a，b 满足 ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|()A0
7、 B2 2C4 D8【思路点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律及模的求法，即可解决【解析】(1)由题设知 f(x)(b2a2)x，因为|a|b|，所以函数 f(x)是一次函数且为奇函数(2)法一：因为 cos AACAB，故AB AC|AB|AC|cosAAC 216，故选 D.【答案】(1)A(2)D(3)B法二：AB 在AC 上的射影为|AB|cosA|AC|，故AB AC|AC|AB|cosAAC 216，故选 D.(3)因为|2ab|2(2ab)24a2b24ab4a2b2448，故|2ab|2 2，选 B.【名师点评】(1)求平面向量的数量积，关键在于求两向量的模和夹角这就需要充
8、分挖掘题目中的几何属性，利用几何知识来求解(2)利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：|a|2a2aa；|ab|2(ab)2a22abb2；若 a(x，y)，则|a|x2y2.1数量积大于0说明不共线的两向量夹角为锐角；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0且两向量不共线时，两向量的夹角就是钝角2找两向量的夹角，在图形中必须使两向量共起点，可以结合解三角形求角3解决向量垂直问题，常用向量垂直的充要条件即非零向量abab0 x1x2y1y20.利用平面向量解决夹角、垂直等问题(2009年高考江苏卷)设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(c
9、os，4sin)(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tantan16，求证：ab.例2【思路点拨】利用两向量垂直时数量积为0的坐标运算公式可以解第一问，第二问中模的最值可以转化为三角函数的有界性求解，第三问中利用两向量平行的充要条件进行转化即可得证【解】(1)因为 a 与 b2c 垂直，所以a(b2c)4cossin8coscos4sincos8sin sin4sin()8cos()0，因此 tan()2.(2)由 bc(sincos，4cos4sin)，得|bc|sincos24cos4sin2 1715sin24 2.又当 4时，等号成立，所以|bc
10、|的最大值为 4 2.(3)证明：由 tan tan16，得4cossin sin4cos，所以 ab.【名师点评】求解|bc|时注意到向量b与向量c的模都不是定值，因而利用坐标法先求和再求模，此方法较|bc|2b2c22bc要快捷得多证明两向量平行时，可以利用两向量平行的充要条件公式变式训练 1 设两个向量 e1、e2 满足|e1|2，|e2|1，e1 与 e2 的夹角为3，若向量 2te17e2 与 e1te2 的夹角为钝角，求实数 t 的范围解：由向量 2te17e2 与 e1te2 的夹角为钝角，得2te17e2e1te2|2te17e2|e1te2|0，即(2te17e2)(e1te
11、2)0，化简即得 2t215t70，解得7t12，当夹角为 时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角，设 2te17e2(e1te2)，0，可求得2t7t0，14，t 142.所求实数 t 的范围是(7，142)(142，12)向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题平面向量的应用【思路点拨】(1)根据向量加、减法的几何意义求解；(2)根据向量数量积的坐标运算，列方程求解(2010 年高考江苏卷)在平面
12、直角坐标系 xOy中，已知点 A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t 满足(AB tOC)OC 0，求 t 的值例3【解】(1)由题设知AB(3,5)，AC(1,1)，则AB AC(2,6)，AB AC(4,4)所以|AB AC|2 10，|AB AC|4 2.因为两条对角线的长即为|AB AC|与|AB AC|的大小，故所求两条对角线的长分别为 4 2，2 10.(2)由题设知OC(2，1)，AB tOC(32t,5t)由(AB tOC)OC 0，得(32t,5t)(2，1)0，从而 5t11，所以 t115.
13、【名师点评】利用向量解平面几何、解析几何问题要注意向量线性运算的几何意义及数量积的坐标表示的应用变式训练 2(2009 年高考上海卷)已知ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2)(1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2，角 C3，求ABC 的面积解：(1)证明：mn，asinAbsinB，即 a a2Rb b2R，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径，ab.ABC 为等腰三角形(2)由题意可知 mp0，即 a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab
14、，即(ab)23ab40，ab4(舍去 ab1)，S12absinC124sin3 3.方法技巧1要熟练类似(ab)(satb)sa2(ts)abtb2的运算律(、s、tR)(如例1(1)2解决向量模的问题的关键是利用|a|2a2，将模的问题转化为数量积的问题，通过数的精确计算来解决问题(如例2)方法感悟3平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系在一起，使它们之间的相互转化得以实施因此，一方面我们要善于把向量的有关问题通过数量积转化为实数问题，利用实数的有关知识来解决问题；另一方面，也要善于把实数问题转化为向量问题，利用向量作工具来解决相关问题(如例3)1零向量：(1)0与实数0的
15、区别，不可写错；0a00，a(a)00，a000；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系2ab0不能推出a0或b0，因为ab0ab.失误防范3abac(a0)不能推出 bc.即消去律不成立4向量夹角的概念要领会，比如正三角形 ABC 中，AB，BC 应为 120，而不是 60.5一般地，(ab)c(bc)a 即乘法的结合律不成立因ab 是一个数量，所以(ab)c 表示一个与 c 共线的向量，同理右边(bc)a 表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c不一定共线，故一般情况下(ab)c(bc)a.平面向量的数量积是每年高考必考的知识点之一，考查重
16、点是向量的数量积运算，向量的垂直以及用向量方法解决简单的几何问题等，既有选择题，填空题，又有解答题，属中低档题目近几年试题中与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题的综合题是高考的一个热点，主要考查运算能力和数形结合思想考情分析 考向瞭望把脉高考 预测2012年高考仍将以向量的数量积运算、向量的垂直为主要考点，以与三角、平面几何、解析几何的交汇命题为考向规范解答(本题满分 12 分)(2009 年高考湖北卷)已知向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，c(1,0)(1)求向量 bc 的长度的最大值；(2)设 4，且 a(bc)，求 cos 的值例【思路点拨】第(1)问是求向量 bc 的
17、长度的最大值，可以先把向量 bc 的长度表示为变量 的函数，问题转化为求函数的最大值问题第(2)问告诉 4，也就说明向量 a 已知，由 a(bc)可以得到关于 的一个方程，从而可以求出 cos 的值【解】(1)法一：bc(cos1，sin)，则|bc|2(cos1)2sin22(1cos).3分1cos1，0|bc|24，即0|bc|2.当cos1时，有|bc|2，向量bc的长度的最大值为2.6分法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.3分当cos1时，有bc(2,0)，即|bc|2，所以向量bc的长度的最大值为2.6分(2)法一：由已知可得 bc(cos1，sin)，a(bc)cos
18、cossin sincoscos()cos.8 分a(bc)，a(bc)0，即 cos()cos.10分由 4，得 cos(4)cos4，即 42k4(kZ)，2k2或 2k，kZ，于是 cos0 或 cos1.12 分法二：若 4，则 a(22，22)又由 b(cos，sin)，c(1,0)，得 a(bc)(22，22)(cos1，sin)22cos 22 sin 22.8 分a(bc)，a(bc)0，即 cossin1.10 分sin1cos，平方后化简得 cos(cos1)0，解得 cos0 或 cos1.经检验，cos0 或 cos1即为所求.12 分【名师点评】(1)本题易失误的是：
19、对向量的加法、数量积的坐标运算公式掌握不清，不会运算，导致无从下手；知道相关知识，知道解决思路，但运算出现错误，结果不准确；书写过程不详细，逻辑性不强，语句不流畅，卷面不整洁，对而不全；出现|bc|b|c|这种错误(2)本题主要考查平面向量、三角函数的概念、三角变换和向量运算等基本知识，考查基本运算能力此题将平面向量、三角函数、三角变换三部分知识进行有机的融合，综合性强学科内知识融合的问题是近年来高考考查的热点，因为这类题能很全面地考查考生综合运用知识，分析问题、解决问题的能力(3)一般来说向量与三角融合时，都会给出向量的坐标，都会进行向量的坐标运算，因此向量的坐标运算公式是必须要记住且要会使
20、用涉及向量平行或垂直，两个坐标关系式也要会熟练地应用此题第(1)问，就是要先通过向量的加法运算求向量bc的坐标，第(2)问涉及a(bc)，要利用两个向量垂直的坐标关系式，再结合三角知识就可以使问题得到很好的解决(4)向量的数量积的坐标运算经常会与其他数学问题联系起来，特别是与三角函数问题相联系，解答这类问题的关键是要熟练地运用向量的数量积的坐标运算公式，通过公式，将向量问题转化为一般的三角函数问题求解名师预测已知向量 a(cos 32x，sin32x)，b(cosx2，sinx2)，c(1，1)，其中 x2，2(1)求证：(ab)(ab)；(2)设函数 f(x)(|ac|23)(|bc|23)
21、，求 f(x)的最大值和最小值解：(1)证明：ab(cos32xcosx2，sin32xsinx2)，ab(cos32xcosx2，sin32xsinx2)，(ab)(ab)(cos32x)2(cosx2)2(sin32x)2(sinx2)20.(ab)(ab)(2)ac(cos32x1，sin32x1)，bc(cosx21，sinx21)|ac|23(cos32x1)2(sin32x1)232cos32x2sin32x.|bc|23(cosx21)2(sinx21)232cosx22sinx2.f(x)(|ac|23)(|bc|23)(2cos32x2sin32x)(2cosx22sinx2)4(cos32xcosx2cos32xsinx2sin32xcosx2sin32xsinx2)4(cos 2xsin x)4(12sin2xsin x)4(2sin2xsin x1)，当 sin x14时，y 最大值4(2 116141)92，当 sin x1 时，y 最小值4(2111)8.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
