1、第八章解析几何 第二节 两条直线的位置关系微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2.掌握点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离；3.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直。2016，全国卷，4,5 分(点到直线的距离)2015，广东卷，4,5 分(平行直线)2014，福建卷，5,5 分(两条直线垂直)2013，全国卷，12,5 分(直线分割三角形)本节知识高考要求难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用
2、直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是以客观题出现。微知识 小题练 教材回扣 基础自测自|主|排|查1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线 l1、l2，其斜率分别为 k1、k2，则有 l1l2。特别地，当直线 l1、l2 的斜率都不存在时，l1与 l2。与 AxByC0 平行的直线，可设为 AxBym0(mC)。(2)两条直线垂直：如果两条直线 l1、l2 斜率存在，设为 k1、k2，则 l1l2，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线。与 AxByC0 垂直的直线可设为 BxAyn0。垂直k1k2平行k1k21 2两直线相交(1)交点
3、：直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解一一对应。(2)相交方程组有，交点坐标就是方程组的解。(3)平行方程组。(4)重合方程组有。无数个解唯一解无解3三种距离公式(1)点 A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离为|AB|x2x12y2y12。(2)点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离为d 。(3)两平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20(C1C2)间的距离为 d 。|Ax0By0C|A2B2|C2C1|A2B24对称问题(1)点 P(x0，y0)关于点 A(a，b)的
4、对称点为 P。(2)设点 P(x0，y0)关于直线 ykxb 的对称点为 P(x，y)，则有yy0 xx0k1，yy02kxx02b，可求出 x，y。(2ax0,2by0)微点提醒1对于直线 l1 与直线 l2 相互平行(垂直)的条件一定要注意其适用范围。2求解点到直线、两平行线间的距离时，注意直线方程要用一般式。小|题|快|练一、走进教材1(必修 2P114B 组 T1)与直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线的方程为()A3x4y50 B3x4y50C3x4y50 D3x4y50【解析】设所求直线上任一点的坐标为(x，y)，关于 x 轴的对称点的坐标(x，y)在已知的直线上，所以所求直
5、线方程为 3x4y50。故选 B。【答案】B2(必修 2P114A 组 T10 改编)两条平行直线 3x4y120 与 ax8y110 之间的距离为()A.235B.2310C7 D.72【解析】由题意知 a6，直线 3x4y120 可化为 6x8y240。所以两条平行直线之间的距离为|1124|366472。故选 D。【答案】D二、双基查验1过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10【解析】设与直线 x2y20 平行的直线方程为 x2ym0，又直线过点(1,0)，所以 1m0，m1。故选 A。【答案】A2若直线 axy50 与
6、 x2y70 垂直，则实数 a 的值为()A2 B.12C2 D12【解析】直线 axy50 的斜率可记为 k1a，直线 x2y70 的斜率可记为 k212，若两直线垂直，则 k1k21，即12a1，得 a2。故选 A。【答案】A3直线 x2y10 关于直线 x1 对称的直线方程是_。【解析】在直线 x2y10 上任取两点(1,1)，0，12，这两点关于直线 x1 的对称点分别为(1,1)，2，12，过这两点的直线方程为 y112(x1)，即 x2y30。【答案】x2y304已知点 A(3,2)和 B(1,4)到直线 axy10 的距离相等，则 a的值为_。【解析】由点到直线的距离公式可知|3
7、a21|a21|a41|a21。解得 a4 或12。【答案】4 或125(2016呼和浩特模拟)点 P(1,3)到直线 l：yk(x2)的距离的最大值等于_。【解析】点 P(1,3)到直线 l：yk(x2)的距离为d3|k1|1k2312kk21，由于2kk211，当且仅当 k1 时取等号，所以 d3 2，即距离的最大值等于 3 2。【答案】3 2微考点 大课堂 考点例析 对点微练考点一两条直线的平行与垂直【典例 1】(1)若直线 l1：ax2y60 与直线 l2：x(a1)ya210 平行，则 a_。(2)已知两直线方程分别为 l1：xy1，l2：ax2y0，若 l1l2，则a_。【解析】(
8、1)直线 l1：ax2y60 的斜率为a2，在 y 轴上的截距为 3。又因为直线 l1 与直线 l2 平行，所以直线 l2：x(a1)ya210 的斜率存在且等于1a1，在 y 轴上的截距为(a1)。由两直线平行得，a21a1且 3a1，解得 a2 或 a1。(2)解法一：l1l2，k1k21，即a21，解得 a2。解法二：l1l2，a20，a2。【答案】(1)2 或1(2)2反思归纳 1当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况。同时还要注意 x、y 的系数不能同时为零这一隐含条件。2在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系
9、得出结论。【变式训练】已知两直线 l1：xysin10 和 l2：2xsiny10，求 的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2。【解析】(1)解法一：当 sin0 时，直线 l1 的斜率不存在，l2 的斜率为 0，显然 l1 不平行于 l2。当 sin0 时，k11sin，k22sin。要使 l1l2，需1sin2sin，即 sin22。所以 k4，kZ，此时两直线的斜率相等，在 y 轴上截距不等。故当 k4，kZ 时，l1l2。解法二：由 A1B2A2B10，得 2sin210，所以 sin22，所以 k4，kZ。又 B1C2B2C10，所以 1sin0，即 sin1。故当 k4，kZ
10、时，l1l2。(2)因为 A1A2B1B20 是 l1l2 的充要条件，所以 2sinsin0，即 sin0，所以 k，kZ。故当 k，kZ 时，l1l2。【答案】(1)k4(kZ)(2)k(kZ)考点二两条直线的交点问题【典例 2】求经过直线 l1：3x2y10 和 l2：5x2y10 的交点，且垂直于直线 l3：3x5y60 的直线 l 的方程。【解析】解法一：先解方程组3x2y10，5x2y10，得 l1、l2 的交点坐标为(1,2)，再由 l3 的斜率35求出 l 的斜率为53，则直线 l 的方程为 y253(x1)，即 5x3y10。解法二：由于 ll3，故 l 是直线系 5x3yC
11、0 中的一条，而 l 过l1、l2 的交点(1,2)，故 5(1)32C0，由此求出 C1，故 l 的方程为 5x3y10。解法三：由于 l 过 l1、l2 的交点，故 l 是直线系 3x2y1(5x2y1)0 中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0。其斜率352253，解得 15，代入直线系方程即得 l 的方程为 5x3y10。【答案】5x3y10反思归纳 常用的直线系方程(1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR且 mC)；(2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAym0(mR)；(3)过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2y
12、C20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2。【变式训练】已知直线 l 被两条直线 l1：4xy30 和 l2：3x5y50 截得的线段的中点为 P(1,2)，则直线 l 的一般式方程为_。【解析】解法一：设直线 l 与 l1 的交点为 A(x0，y0)，由已知条件，得直线 l 与 l2 的交点为 B(2x0,4y0)，并且满足4x0y030，32x054y050，即4x0y030，3x05y0310，解得x02，y05，因此直线 l 的方程为y252x121，即 3xy10。解法二：设直线 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxyk20。由kxy
13、k20，4xy30，得 xk5k4。由kxyk20，3x5y50，得 x5k155k3。则k5k4 5k155k3 2，解得 k3。因此直线 l 的方程为 y23(x1)，即 3xy10。【答案】3xy10考点三距离公式的应用【典例 3】已知点 P(2，1)。(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。【解析】(1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，1)，显然，过 P(2，1)且垂直
14、于 x 轴的直线满足条件，此时 l 的斜率不存在，其方程为 x2。若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10。由已知得|2k1|k21 2，解得 k34。此时 l 的方程为 3x4y100。综上，可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100。(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图。由 lOP，得 klkOP1，所以 kl1kOP2。由直线方程的点斜式得 y12(x2)，即 2xy50。所以直线 2xy50 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线，最大距离为|5|5 5。(3)由(2)可知，过点 P 不存在到原点
15、的距离超过 5的直线，因此不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线。【答案】(1)x2 或 3x4y100(2)5(3)不存在，理由见解析反思归纳 利用距离公式应注意1点 P(x0，y0)到直线 xa 的距离 d|x0a|，到直线 yb 的距离 d|y0b|；2两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数化为相等。【变式训练】(1)平行于直线 3x4y20，且与它的距离是 1 的直线方程为_。(2)直线 l 经过点 P(2，5)且与点 A(3，2)和点 B(1,6)的距离之比为 12，求直线 l 的方程。【解析】(1)设所求直线方程为 3x4yc0(c2)，则 d|2c|32421
16、，解得 c3 或 c7，所求直线方程为 3x4y30 或 3x4y70。(2)当直线 l 与 x 轴垂直时，此时直线 l 的方程为 x2，点 A 到直线 l的距离为 d11，点 B 到直线 l 的距离为 d23，不符合题意，故直线 l的斜率必存在。设直线 l 的方程为 y5k(x2)，即 kxy2k50，则点 A(3，2)到直线 l 的距离 d1|3k22k5|k21|k3|k21，点B(1,6)到直线 l 的距离 d2|k62k5|k21|3k11|k21，d1d212，|k3|3k11|12，解得 k1 或 k17。所求直线方程为 xy30 和 17xy290。【答案】(1)3x4y30
17、或 3x4y70(2)xy30 和 17xy290考点四对称问题【典例 4】已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)。求：(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标；(2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 对称的直线 m的方程；(3)直线 l 关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程。【解析】(1)设 A(x，y)，再由已知y2x1231，2x12 3y22 10。解得x3313，y413。所以A3313，413。(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点必在 m上。设对称点为 M(a，b)，则2a223b0210，b0a2231。解得 M
18、613，3013。设 m 与 l 的交点为 N，则由2x3y10，3x2y60，得 N(4，3)。又因为 m经过点 N(4,3)，所以由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020。(3)设 P(x，y)为 l上任意一点，则 P(x，y)关于点 A(1，2)的对称点为 P(2x，4y)，因为 P在直线 l 上，所以 2(2x)3(4y)10，即 2x3y90。【答案】(1)A3313，413 (2)9x46y1020(3)2x3y90反思归纳 1.关于中心对称问题的处理方法：1若点 Mx1，y1及 Nx，y关于 Pa，b对称，则由中点坐标公式得(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上
19、取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用 l1l2，由点斜式得到所求直线方程。2关于轴对称问题的处理方法：(1)点关于直线的对称若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：AxByC0 对称，则线段 P1P2 的中点在 l 上，而且连接 P1P2 的直线垂直于 l，由方程组Ax1x22By1y22C0，y2y1x2x1AB 1，可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2，y2)(其中 B0，x1x2)。(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称
20、轴相交；二是已知直线与对称轴平行。【变式训练】光线从 A(4，2)点射出，到直线 yx 上的 B 点后被直线 yx 反射到 y 轴上 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 D(1,6)，则 BC 所在的直线方程为_。【解析】作出草图，如图所示，设 A 关于直线 yx 的对称点为 A，D 关于 y 轴的对称点为 D，则易得 A(2，4)，D(1,6)。由入射角等于反射角可得 AD所在直线经过点 B 与 C。故 BC 所在的直线方程为y664x112，即 10 x3y80。【答案】10 x3y80微考场 新提升考题选萃 随堂自测1(2016汕头模拟)已知 l1：(1a)xay20，l2：
21、ax(2a1)y30，若 l1l2，则 a 的值为()A0 或 2 B0 或2C2 D2解析 由 l1l2 得(1a)aa(2a1)0，a0 或 a2。故选 B。答案 B2“a1”是“直线 ax3y30 和直线 x(a2)y10 平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 依题意，注意到直线 ax3y30 和直线 x(a2)y10平行的充要条件是 a31a2，3a231，a0，a20，解得 a1。故选 C。答案 C3(2017衡阳模拟)若 a，b，p(a0，b0，p0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离，则下列关系式成立的是()A.1a21
22、b21p2B.1a21b21p2C.1a21p21b2D.1a2p21b2解析 由题意设直线方程为xayb1，则 p211a21b2，1a21b21p2。故选 A。答案 A4(2016昆明模拟)已知 A，B 两点分别在两条互相垂直的直线 2xy0 和 xay0 上，且线段 AB 的中点为 P0，10a，则线段 AB 的长为_。解析 依题意，a2，P(0,5)，设 A(x,2x)，B(2y，y)，由中点坐标公式得x2y0，2xy10，解得 x4，y2，所以 A(4,8)，B(4,2)，|AB|44282210。答案 105(2016抚顺模拟)已知直线 l：(2ab)x(ab)yab0 及点P(3,4)。(1)证明直线 l 过某定点，并求该定点的坐标。(2)当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程。解析(1)直线 l 的方程可化为 a(2xy1)b(xy1)0，由2xy10，xy10，得x2，y3，所以直线 l 恒过定点(2,3)。(2)由(1)知直线 l 恒过定点 A(2,3)，当直线 l 垂直于直线 PA 时，点 P 到直线 l 的距离最大。又直线 PA 的斜率 kPA433215，所以直线 l 的斜率 kl5。故直线 l 的方程为 y35(x2)，即 5xy70。答案(1)直线 l 恒过定点(2,3)(2)5xy70