1、第七章立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定与性质微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。2016，全国卷，18(1)，6 分(证明面面垂直)2016，全国卷，19(1)，6 分(证明线面垂直)2015，全国卷，18(1)，6 分(证明面面垂直)2013，全国卷，18(1)，6 分(证明线线垂直)1.直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的
2、判定及其应用等内容；2.题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想。微知识 小题练 教材回扣 基础自测自|主|排|查1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线 l 与平面 内的直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直。任意一条(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线 平行两条相交直线2平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于的
3、直线与另一个平面垂直垂线交线 微点提醒1在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等。2使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”。3判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况。小|题|快|练一、走进教材1(必修 2P73A 组 T1 改编)下列命题中不正确的是()A如果平面 平面，且直线 l平面，则直线 l平面 B如果平面 平面，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 不垂直于平面，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D如果平面 平面，平面 平面，l，那么 l【解析】根据面面垂直的性质，知 A 不正确
4、，直线 l 可能平行平面，也可能在平面 内。故选 A。【答案】A2(必修 2P69 练习题)如图，正方形 SG1G2G3 中，E，F 分别是 G1G2，G2G3 的中点，D 是 EF 的中点，现在沿 SE，SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1，G2，G3 三点重合，重合后的点记为 G，则在四面体 SEFG 中必有()ASG平面 EFGBSD平面 EFGCGF平面 SEFDGD平面 SEF【解析】解法一：在正方形 SG1G2G3 中，SG1G1E，SG3G3F，在四面体 SEFG 中，SGGE，SGGF，GEGFG，所以 SG平面EFG。故选 A。解法二：GF 即 G3F 不垂直
5、于 SF，所以可以排除 C；在GSD 中，GSa(正方形边长)，GD24，SD3 24，所以 SG2SD2GD2，SDG90，从而排除 B 和 D。故选 A。【答案】A二、双基查验1(2016浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直线 l，若直线 m，n 满足 m，n，则()AmlBmnCnlDmn【解析】因为 l，所以 l，又 n，所以 nl。故选 C。【答案】C2(2015浙江高考)设，是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l，m()A若 l，则 B若，则 lmC若 l，则 D若，则 lm【解析】选项 A 中，由平面与平面垂直的判定，故正确；选项 B中，当 时，l，m 可以垂直，也可
6、以平行，也可以异面；选项 C 中，l 时，可以相交；选项 D 中，时，l，m 也可以异面。故选A。【答案】A3.(2016葫芦岛模拟)已知如图，六棱锥 PABCDEF的底面是正六边形，PA平面 ABCDEF。则下列结论不正确的是()ACD平面 PAFBDF平面 PAFCCF平面 PABDCF平面 PAD【解析】A 中，因为 CDAF，AF平面 PAF，CD平面 PAF，所以 CD平面 PAF 成立；B 中，因为 ABCDEF 为正六边形，所以 DFAF。又因为 PA平面 ABCDEF，所以 PADF，又因为 PAAFA，所以 DF平面 PAF 成立；C 中，因为 CFAB，AB平面 PAB，C
7、F平面 PAB，所以 CF平面 PAB；而 D 中 CF 与 AD 不垂直，故 D 结论不正确。故选 D。【答案】D4已知 P 为ABC 所在平面外一点，且 PA、PB、PC 两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC。其中正确的个数是_。【解析】如图所示。PAPC，PAPB，PCPBP，PA平面 PBC又BC平面 PBC，PABC。同理 PBAC，PCAB。但 AB 不一定垂直于 BC。【答案】35(2016天津模拟)已知不同直线 m，n 与不同平面，给出下列三个命题：若 m，n，则 mn；若 m，n，则 nm；若 m，m，则。其中真命题的个数是_个。【解析】平行于同一平面
8、的两直线不一定平行，所以错误。根据线面垂直的性质可知正确。根据面面垂直的性质和判定定理可知正确，所以真命题的个数是 2 个。【答案】2微考点 大课堂 考点例析 对点微练考点一直线与平面垂直的判定与性质多维探究角度一：证明直线与平面垂直【典例 1】如图所示，直角ABC 所在的平面外一点 S，SASBSC，点 D 为斜边 AC 的中点。求证：直线 SD平面 ABC。【证明】因为 SASC，点 D 为斜边 AC 的中点，所以 SDAC，连接 BD，在 RtABC 中，则 ADDCBD，所以ADSBDS，所以 SDBD。又因为 ACBDD，所以 SD平面 ABC。【母题变式】在本典例中，若 ABBC，
9、其他条件不变，则 BD 与平面 SAC 的位置关系是什么？【解析】因为 ABBC，点 D 为斜边 AC 的中点，所以 BDAC，又由例题知 SDBD，于是 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线，故 BD平面 SAC。【答案】BD平面 SAC角度二：利用线面垂直的性质证明线线垂直【典例 2】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 ACBC，BCCC1。设 AB1 的中点为 D，B1CBC1E。求证：(1)DE平面 AA1C1C；(2)BC1AB1。【证明】(1)由题意知，点 E 是 B1C 的中点。在三角形 AB1C 中，点 D 是 AB1 的中点，所以 DE 是三角形 AB1C
10、的中位线，所以 DEAC。又因为 AC平面 AA1C1C，DE平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C。(2)因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱，且 ACBC，所以 AC平面BB1C1C，所以 ACBC1。又因为 BCCC1，所以四边形 BB1C1C 是正方形，所以 BC1B1C。又因为 B1CACC，所以 BC1平面 AB1C，所以BC1AB1。反思归纳 1.证明直线和平面垂直的常用方法：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质。2证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质。因此，判定定理
11、与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想。3线面垂直的性质，常用来证明线线垂直。考点二平面与平面垂直的判定与性质【典例 3】(2016江苏高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1。求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F。【证明】(1)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1C1AC。在ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DEAC，于是 DEA1C1。又 DE平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F，所以直线 DE平面 A1C1
12、F。(2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1A平面 A1B1C1。因为 A1C1平面 A1B1C1，所以 A1AA1C1。又 A1C1A1B1，A1A平面 ABB1A1，A1B1平面 ABB1A1，A1AA1B1A1，所以 A1C1平面 ABB1A1。因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1B1D。又 B1DA1F，A1C1平面 A1C1F，A1F平面 A1C1F，A1C1A1FA1，所以 B1D平面 A1C1F。因为直线 B1D平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F。反思归纳 1.判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a，a)。2在已知平
13、面垂直时，一般要用性质定理进行转化。在一个平面内找或作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。【变式训练】如图，在三棱锥 VABC 中，平面VAB平面 ABC，VAB 为等边三角形，ACBC 且ACBC 2，O，M 分别为 AB，VA 的中点。(1)求证：VB平面 MOC；(2)求证：平面 MOC平面 VAB；(3)求三棱锥 VABC 的体积。【解析】(1)证明：因为 O，M 分别为 AB，VA 的中点，所以 OMVB。又因为 VB平面 MOC，OM平面 MOC，所以 VB平面 MOC。(2)证明：因为 ACBC，O 为 AB 的中点，所以 OCAB。又因为平面 VAB平面 AB
14、C，且 OC平面 ABC，所以 OC平面 VAB。又 OC平面 MOC，所以平面 MOC平面 VAB。(3)在等腰直角三角形 ACB 中，ACBC 2，所以 AB2，OC1。所以等边三角形 VAB 的面积 SVAB 3。又因为 OC平面 VAB，所以三棱锥 CVAB 的体积等于13OCSVAB33。又因为三棱锥 VABC 的体积与三棱锥 CVAB 的体积相等，所以三棱锥 VABC 的体积为33。【答案】(1)(2)见解析(3)33 考点三垂直关系中的探索性问题【典例 4】如图，在三棱台 ABCDEF 中，CF平面 DEF，ABBC。(1)设平面 ACE平面 DEFa，求证：DFa；(2)若 E
15、FCF2BC，试问在线段 BE 上是否存在点 G，使得平面 DFG平面 CDE？若存在，请确定 G点的位置；若不存在，请说明理由。【解析】(1)证明：在三棱台 ABCDEF 中，ACDF，AC平面ACE，DF平面 ACE，DF平面 ACE。又DF平面 DEF，平面 ACE平面 DEFa，DFa。(2)线段 BE 上存在点 G，且 BG13BE，使得平面 DFG平面 CDE。证明如下：取 CE 的中点 O，连接 FO 并延长交 BE 于点 G，连接 GD，CFEF，GFCE。在三棱台 ABCDEF 中，ABBCDEEF。由 CF平面 DEFCFDE。又 CFEFF，DE平面 CBEF，DEGF。
16、GFCEGFDECEDEEGF平面 CDE。又 GF平面 DFG，平面 DFG平面 CDE。此时，如平面图所示，O 为 CE 的中点，EFCF2BC，由平面几何知识易证HOCFOE，HBBC12EF。由HGBFGE 可知BGGE12，即 BG13BE。【答案】(1)见解析(2)线段 BE 上存在点 G，且 BG13BE反思归纳 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明。【变式训练】(2016郑州模拟)如图，已知三棱柱 ABCABC的侧棱垂直于底面，ABAC，BAC90，点 M，N 分别为 AB 和 BC的中点。(1)
17、证明：MN平面 AACC；(2)设 ABAA，当 为何值时，CN平面 AMN，试证明你的结论。【解析】(1)证明：如图，取 AB的中点 E，连接 ME，NE。因为 M，N 分别为 AB 和 BC的中点，所以 NEAC，MEAA。又 AC平面 AACC，AA平面AACC，所以 ME平面 AACC，NE平面 AACC，因为 NEMEE，所以平面 MNE平面 AACC，因为 MN平面 MNE，所以 MN平面 AACC。(2)连接 BN，设 AAa，则 ABAAa，由题意知 BC 2a，CNBNa2122a2，因为三棱柱 ABCABC的侧棱垂直于底面，所以平面 ABC平面 BBCC，因为 ABAC，点
18、 N 是 BC的中点，BAC90，所以 AN平面 BBCC，所以 CNAN，要使 CN平面 AMN，只需 CNBN 即可，所以 CN2BN2BC2，即 2a2122a2 22a2，解得 2，故当 2时，CN平面 AMN。【答案】(1)见解析(2)2，证明见解析微考场 新提升考题选萃 随堂自测1设 a，b，c 是三条不同的直线，是两个不同的平面，则 ab的一个充分不必要条件是()Aac，bcB，a，bCa，bDa，b解析 对于 C，在平面 内存在 cb，因为 a，所以 ac，故 ab；A，B 中，直线 a，b 可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D 中一定推出 ab。故选 C。答案 C2
19、(2016成都一诊)设，是两个不同的平面，a，b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是()A若 a，b，则 abB若 a，b，ab，则 C若 a，b，ab，则 D若 a，b 在平面 内的射影互相垂直，则 ab解析 与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以 A 错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以 B 错误；如图(1)，设OAa，OBb，直线 OA，OB 确定的平面分别交，于 AC，BC，则OAAC，OBBC，所以四边形 OACB 为矩形，ACB 为二面角 l 的平面角，所以，C 正确；如图(2)，直线 a，b 在平面 内的射影分别为 m，n，显然 mn，但 a，b
20、不垂直，所以 D 错误。故选 C。答案 C3.如图，O 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD的中心，则下列直线中与 B1O 垂直的是()AA1DBAA1CA1D1DA1C1解析 连接 B1D1，则 A1C1B1D1，根据正方体特征可得 BB1A1C1，故 A1C1平面 BB1D1D，B1O平面 BB1D1D，所以B1OA1C1。答案 D4.如图所示，PA圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上的一点，E，F 分别是点 A 在 PB，PC 上的正投影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面 PBC。其中正确结论的序号是_。解析 由题意知 PA平面
21、 ABC，PABC。又 ACBC，PAACA，BC平面 PAC。BCAF。AFPC，BCPCC，AF平面 PBC。AFPB，又 AEPB，AEAFA，PB平面 AEF。PBEF。故正确。答案 5.如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBC12AA1，D 是棱 AA1 的中点。(1)证明：平面 BDC1平面 BDC；(2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。解析(1)证明：由题设知 BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以 BC平面 ACC1A1。又 DC1平面 ACC1A1，所以 DC1BC。由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即 DC1DC。又 DCBCC，所以 DC1平面 BDC。又 DC1平面 BDC1，故平面 BDC1平面 BDC。(2)设棱锥 BDACC1 的体积为 V1，AC1。由题意得 V113122 1112。又三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V1，所以(VV1)V111。故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 11。答案(1)见解析(2)11
