1、广东省惠州市第一中学（惠州市）2015届高三第二次调研考试数学（理）试题（解析版）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项.【题文】1设集合，集合，则()A B C D【知识点】集合的基本运算
2、.A1 【答案解析】A 解析：由，解得，所以，又，所以，故选A.【思路点拨】先解出集合A,B，再求交集即可。【题文】2. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【知识点】复数的乘法运算；复数的几何意义。L4 【答案解析】B 解析：复数z在复平面上对应的点的坐标为，位于第二象限故选B.【思路点拨】先利用复数的乘法运算求出Z，再判断即可。【题文】3双曲线的实轴长是()A2 B2 C4 D4【知识点】双曲线方程及其简单几何性质。H6 【答案解析】C 解析：双曲线方程可变形为，所以.故选C.【思路点拨】先把双曲线化成标准方程，再求出实轴长。【题文】4
3、设向量，则下列结论中正确的是()A B C D与垂直【知识点】向量的数量积运算；向量的模的运算。F2 F3 【答案解析】D 解析：；，故垂直故选D.【思路点拨】依次对每个选项排除即可。【题文】5为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则()A BC D【知识点】中位数、众数、平均数。I2 【答案解析】D 解析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分中位数为第15,16个数(分别为5,6
4、)的平均数，即5.5,5出现的次数最多，故5，5.97于是得.故选D.【思路点拨】利用定义分别求出中位数，众数、平均数，再比较大小即可。【题文】6. 设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】充要条件。A2 【答案解析】A 解析：若，又，根据两个平面垂直的性质定理可得，又因为，所以；反过，当时，因为，一定有，但不能保证，即不能推出.故选A。【思路点拨】对给出的结论双向判断即可。【题文】7已知,满足约束条件，若的最小值为1，则()A. B. C D【知识点】简单的线性规划。E5 【答案
5、解析】B 解析：由已知约束条件，作出可行域如图中ABC内部及边界部分，由目标函数的几何意义为直线l：在轴上的截距，知当直线l过可行域内的点时，目标函数的最小值为1，则。故选B.【思路点拨】根据线性约束条件画出可行域，再利用目标函数所表示的几何意义求出a的值。【题文】8. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数 (表示不大于的最大整数）可以表示为()AB C D【知识点】函数的解析式。B1 【答案解析】B 解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班
6、人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数 (表示不大于的最大整数）可以表示为故选B.【思路点拨】结合给出的新定义“取整函数 (表示不大于的最大整数）”直接可得结果。二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答【题文】9已知，则不等式的解集为 【知识点】分段函数的性质；一元二次不等式的解法。E3 【答案解析】 解析：由，可得或，解得，所以原不等式的解集为【思路点拨】把原不等式转化为不等式组，再求并集即可。【题文】1
7、0曲线在点处的切线方程为 【知识点】导数的几何意义。B11 【答案解析】 解析：由，则.所以，即切线L的斜率为1。又切线L过点(1,0)，所以切线L的方程为. 一般方程为 .【思路点拨】先对原函数求导，即可求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。【题文】11展开式中的常数项为 【知识点】二项式定理。J3 【答案解析】 解析：，令，得，故常数项为.【思路点拨】利用二项式定理的展开式得到，再令即可解得，可求结果。【题文】12锐角中，角所对的边长分别为，若，则角等于 【知识点】正弦定理；解三角方程。C8 【答案解析】 解析：由正弦定理得，可化为，又，所以，又为锐角三角形，得.【思路点拨】先由正弦定理转化
8、成角与角的关系即可解得A.【题文】13在正项等比数列中，则满足的最大正整数的值为_【知识点】等比数列的基本性质.D3 【答案解析】 解析：设等比数列的公比为由可得即所以，所以，数列的前项和，所以，由可得，由，可求得的最大值为12，而当时，不成立，所以的最大值为12.【思路点拨】根据题意可得，再求出的最大值即可。（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分【题文】14（极坐标与参数方程）已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则_.【知识点】参数方程与极坐标。N3 【答案解析】 解析：由可得圆的直角坐标方程为，圆心点的直角坐标为，所以.【思路点拨】先
9、把极坐标方程转化为普通方程，再求出。【题文】15（几何证明选讲）如图所示，的两条切线和相交于点，与相切于两点，是上的一点，若，则_.（用角度表示）【知识点】弦切角。N1 【答案解析】55 解析：如图所示，连接，则.故，.【思路点拨】连接，则.再根据求出结果即可。三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤【题文】16（本题满分12分）设向量，.（1）若，求的值；（2）设函数，求的最大值【知识点】三角函数的性质；平面向量的模。C3 F3 【答案解析】（1）；（2） 解析：(1)由， . （1分） ， .（2分） 及，得. 又，从而， .（4分） 所以 .（6分）
10、 （2） ， .（9分） 当时， 所以当时，取得最大值1 .（11分） 所以的最大值为. .（12分）【思路点拨】（1）借助于，得，再解可得结果；（2）先化简整理得到函数，再求最大值即可。【题文】17（本题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示（1）根据频率分布直方图，求重量超过克的产品数量；（2）在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列；（3）从该流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率【知识点】频率分布直方图.I2 【答案
11、解析】（1）12（2）见解析；（3）0.3087 解析：(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为(件) .（2分）(2)的可能取值为0,1,2. .（3分） .（4分） .（5分） .（6分）012PY的分布列为.（7分）(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3.（8分） 令为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量， 则， .（10分） 故所求概率为.（12分）【思路点拨】（1）由频率分布直方图可计算得到结果；（2）依次求出概率就得到分布列；(3)由已知可得，利用公式可求概率。【题文】18（本题满分14分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面
12、.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值【知识点】线面垂直的判定定理；求作二面角的平面角。G5 G11 【答案解析】（1）见解析；（2） 解析：（1）证明：因为， 由余弦定理得. .（2分） 从而，故. .（3分） 面面，.（4分） 又 所以平面. .（5分） 故. .（6分）（2）如图，以D为坐标原点，射线DA，DB，DP分别为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则， .（8分）设平面PAB的法向量为，则即因此可取 .（10分）设平面PBC的法向量为，则可取 .（12分）则故钝二面角APBC的余弦值为. .（14分）【思路点拨】（1）先由余弦定理计算出BD,再结合勾股定理证明出
13、，然后利用线面垂直的判定定理即可；（2）以D为坐标原点，射线DA，DB，DP分别为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则然后求出法向量，再代入公式即可。【题文】19（本题满分分）设数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：对一切正整数，有.【知识点】等差数列的通项公式；不等式的证明。D2 E7 【答案解析】（1）；（2）见解析 解析：（1）（解法一） 依题意，又，所以 （2分） 当， ，两式相减得整理得 ，即， （6分）又，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以所以 （8分）（解法二） ， ，得， .（2分） 猜想 .（3分） 下面用数学归纳法证明： （1）当
14、时，猜想成立； （2）假设当时，猜想也成立，即 .（4分） 当时，= ，.（5分） 时，猜想也成立 .（6分） 由（1），（2）知，对于，猜想成立。 ，当，也满足此式，故 .（8分）（2）证明：当； （9分）当； （10分）当， （12分）此时综上，对一切正整数n，有 （14分）【思路点拨】（1）把原式利用递推关系式构造新数列为等差数列，再利用通项公式即可；（2）利用简单的放缩法即可。【题文】20(本题满分14分)如图，已知椭圆：，其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、构成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）记的面积为，（为原点）的面积为试问：
15、是否存在直线，使得？说明理由【知识点】直线与椭圆的综合应用。H8 【答案解析】（1）；（2）不存在直线，使得 解析：（1）因为、构成等差数列， 所以，所以. （2分） 又因为，所以， （3分） 所以椭圆的方程为. （4分）（2）假设存在直线，使得 ，显然直线不能与轴垂直 设方程为 （5分）将其代入，整理得 （6分）设，所以 故点的横坐标为所以 （8分）因为 ，所以 ， 解得 ，即 （10分）和相似，若，则 （11分）所以 ， （12分） 整理得 （13分） 因为此方程无解，所以不存在直线，使得 （14分）【思路点拨】（1）由、构成等差数列，可解得a，再结合椭圆的a,b,c的关系即可；（2）把直
16、线与椭圆联立，再结合已知条件列出k的方程，解之即可。【题文】21.（本题满分分）已知，函数.（的图像连续不断）（1）求的单调区间；（2）当时，证明：存在，使；（3）若存在均属于区间的，且，使，证明.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的单调区间；利用导数证明不等式。B12 【答案解析】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）见解析；（3）见解析。 解析：（1） .(1分)令，解得 .(2分)当变化时，的变化情况如下表：0递增极大值递减.(3分) 所以，的单调递增区间是，单调递减区间是.(5分)（2）证明：当时，由(1)知在内单调递增，在内单调递减令 .(6分)由于在内单调递增，故，即.(7分)取，则.所以存在，使，即存在，使 .（9分）(说明：的取法不唯一，只要满足，且即可)（3）证明：由及(1)的结论知，从而在上的最小值为， .(10分)又由，知 .(11分)故即 .(13分)从而 （14分）【思路点拨】（1）对原函数求导后解出零点，再列表判断出单调区间；（2）根据函数的单调性证明即可；（3）由及(1)的结论知，从而在上的最小值为，可得，即可证明。
