1、主要考查基础知识、基本技能，应用所学分析解决问题的能力 题型专题（七）函数与函数的单调性、极值与最值做到“三准”(定义域、求导、判断)不失分 (1)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解.考点一：利用导数研究函数的单调性典例(2015重庆高考)设函数f(x)3x2axex(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围解(1)对f(x)求导得f(
2、x)6xaex3x2axexex23x26axaex.因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)3x2ex，f(x)3x26xex，故f(1)3e，f(1)3e，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y3e3e(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x)3x26axaex，令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x16a a2366，x26a a2366.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当 x1x0，即 f(x)0，故 f(x)为增函数；当 xx2 时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为减函数由 f(x)在3
3、，)上为减函数，知 x26a a23663，解得 a92.故 a 的取值范围为92，.利用导数研究函数的单调性关注四点(1)利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论(3)在不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论(4)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制 已知函数f(x)ln xax1ax 1，aR.(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当0a12时，讨论f(x)的单调性即时应用解：(1)当a1时，f(x)ln xx2x1
4、，x(0，)，所以f(x)x1x2x2，x(0，)由f(x)0，得x1或x2(舍去)，所以当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增故当a1时，函数f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)(2)因为f(x)ln xax1ax 1，所以f(x)1xaa1x2 ax2x1ax2，x(0，)令g(x)ax2x1a，x(0，)当a0时，g(x)x1，x(0，)，当x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)0，函数f(x)单调递增当0a10，所以当x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；x1，1a1 时，
5、g(x)0，函数f(x)单调递增；x 1a1，时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减综上所述，当a0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；当0a0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值(2)设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.考点二：利用导数讨论含参函数的极值与最值典例(2015山东高考改编)设函数f(x)ln(x1)a(x2x)，其中a0.(1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(2)若x0，
6、f(x)0成立，求a的取值范围解(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(1，)，f(x)1x1a(2x1)2ax2axa1x1.令g(x)2ax2axa1，x(1，)当a0时，g(x)1，此时f(x)0，函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点；当 a0 时，a28a(1a)a(9a8)a当 0a89时，0，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)在(1，)上单调递增，无极值点；b当 a89时，0，设方程 2ax2axa10 的两根为 x1，x2(x1x2)，因为 x1x212，所以 x114，x214.由 g(1)10，可得1x114.所以当x(1，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(
7、x)单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，因此，函数有两个极值点综上所述，当0a89时，函数f(x)无极值点；当a89时，函数f(x)有两个极值点(2)由(1)知，当0a89时，函数f(x)在(0，)上单调递增，因为f(0)0，所以x(0，)时，f(x)0，符合题意当890.所以x(0，x2)时，函数f(x)单调递减因为f(0)0，所以x(0，x2)时，f(x)0，不合题意综上所述，a的取值范围是0,1极值、最值问题研究应注意的三点(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数
8、的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论(3)含参数时，要讨论参数的大小 已知函数 f(x)ax2x3ln x，其中 a 为常数(1)当函数 f(x)的图象在点23，f 23 处的切线的斜率为 1 时，求函数 f(x)在32，3 上的最小值；(2)若函数 f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求 a 的取值范围即时应用解：(1)f(x)a 2x23x(x0)，由题意可知 f23 1，解得 a1.故 f(x)x2x3ln x，f(x)x1x2x2，根据题意由 f(x)0，得 x2.于是可得下表：x3232
9、，22(2,3)3f(x)0f(x)13ln 2 f(x)minf(2)13ln 2.(2)f(x)a 2x23xax23x2x2(x0)，由题意可得方程ax23x20有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)ax23x2，则98a0，x1x23a0，x1x22a0，也可以为98a0，32a 0，h00，解得0a0 结论解：(1)当x1时，fn(x)xxn11x 1，则fn(x)1n1xn1xxxn11x2，可得fn(2)1n12n22n1122(n1)2n1.(2)证明：因为f(0)10，所以fn(x)在0，23 内至少存在一个零点又fn(x)12xnxn10，所以fn(x
10、)在0，23 内单调递增，因此fn(x)在0，23 内有且仅有一个零点an.由于fn(x)xxn11x 1，所以0fn(an)anan1n1an 1，由此可得an1212an1n.求解这类问题的关键在于利用函数、导数与数列的对应关系，将条件进行准确转化；对于函数的有关性质，主要利用函数的单调性或有界性来求解数列中的最值但由于数列的通项是一类特殊的函数，所以借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列中的自变量只能取正整数这一特点 (2015南昌一模)已知函数f(x)xsin xcos x(x0)(1)当x(0,2)时，求f(x)的极值；(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(iN*)个极值点，证明：1x221x23 1x2n29(n2，nN)即时应用解：(1)f(x)sin xxcos xsin xxcos x，x(0,2)，令 f(x)0，得 x2或32，当 0 x2，或32 x0；当2x32 时，f(x)0，得xi2n12，94 1x2i32n1212n12，94 1x22 1x23 1x2n 132 15212n1211313515712n32n112112n1 1214n212，1x22 1x23 1x2n谢谢观看
