1、第七章立体几何第六节空间向量及其运算微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式；2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；2016，全国卷，18,12 分(面面垂直、二面角)2015，全国卷，18()，6 分(求二面角)以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现。考纲要求真题举例命题角度4.掌握空间向量的数量积及其坐
2、标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；5.理解直线的方向向量与平面的法向量；6.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；7.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理。2015，全国卷，19()，6 分(求线面角)2014，全国卷，18,12 分(平行、二面角问题)以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现。微知识 小题练 教材回扣 基础自测自|主|排|查1空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念空间向量：在空间中，具有_和_的量叫做空间向量。相等向量：方向_且模_的向量。共线向量：表示
3、空间向量的有向线段所在的直线互相_的向量。共面向量：_的向量。大小方向相同相等平行或重合平行于同一个平面(2)空间向量中的有关定理共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab存在唯一一个 R，使 a_。共面向量定理：若两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p_。空间向量基本定理：如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使得 p_。xaybzcbxayb2两个向量的数量积(1)非零向量 a，b 的数量积 ab|a|b|cosa，b。(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(a
4、b)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac。3空间向量的坐标表示及其应用设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，向量表示坐标表示数量积ab共线ab(b0)垂直ab0(a0，b0)模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23a21a22a23a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3a1b1a2b2a3b304.向量法证明平行与垂直(1)两个重要向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有_个。平面的法向量直线 l平面，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做
5、平面 的法向量。显然一个平面的法向量有_个，它们是共线向量。无数无数(2)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示l1l2n1n2n1n2直线 l1，l2 的方向向量分别为 n1，n2l1l2n1n2n1n20lnmmn0直线 l 的方向向量为 n，平面 的法向量为 mlnmnmnmnm平面、的法向量分别为 n、mnmnm0微点提醒1用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理。如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线 ab，只需证明向量 ab(R)即可。若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线
6、在平面外。2用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标。小|题|快|练一、走进教材 1(选修 21P97A 组 T2 改编)如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AC 与 BD 的交点为点 M，设ABa，AD b，AA1 c，则下列向量中与C1M相等的向量是()A12a12bcB.12a12bcC12a12bcD12a12bc【解析】C1M C1C CMAA1 12ACAA1 12(ABAD)12AB12AD AA1 12a12bc。故选 C。【答案】C2(选修 21P111 练习 T3 改编)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1
7、D1中，O 是底面正方形 ABCD 的中心，M 是 D1D 的中点，N 是 A1B1 的中点，则直线 ON，AM 的位置关系是_。【解析】以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 DA2，则 A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，所以AM(2,0,1)，ON(1,0,2)，AM ON 2020，所以 AMON。【答案】垂直二、双基查验1(2016沈阳模拟)O 为空间任意一点，若OP 34OA 18OB 18OC，则A，B，C，P 四点()A一定不共面B一定共面C不一定共面D无法判断【解析】由3418181 知
8、，A，B，C，P 四点共面。故选 B。【答案】B2(2017赤峰模拟)已知 a(3,2,5)，b(1，x，1)，且 ab2，则x 的值为()A3 B4C5 D6【解析】因为 a(3,2,5)，b(1，x，1)，所以 ab32x52，解得 x5。故选 C。【答案】C3(2016重庆模拟)若 A0，2，198，B1，1，58，C2，1，58 是平面 内的三点，设平面 的一个法向量 a(x，y，z)，则 xyz()A23(4)B111C1211 D324【解析】AB1，3，74，BC(3,2,0)，因为平面 的一个法向量为 a(x，y，z)，所以aABx3y74z0，aBC3x2y0，取 y3，则
9、x2，z4。所以 xyz23(4)。故选 A。【答案】A4若直线 l 的方向向量为 a(1,0,2)，平面 的法向量为 n(2,0，4)，则直线 l 与平面 的位置关系为_。【解析】a12n，l。【答案】l5已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果AB(2，1，4)，AD(4,2,0)，AP(1,2，1)。对于结论：APAB；APAD；AP 是平面 ABCD 的法向量；AP BD。其中正确的是_。【解析】ABAP0，AD AP0，ABAP，ADAP，则正确。又AB与AD 不平行，AP是平面 ABCD 的法向量，则正确。BD AD AB(2,3,4)，AP(1,2，1)，BD
10、与AP不平行，故错误。【答案】微考点 大课堂 考点例析 对点微练【典例 1】如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，设AA1 a，ABb，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N；(3)MP NC1。考点一空间向量的线性运算【解析】(1)P 是 C1D1 的中点，APAA1 A1D1 D1P aAD 12D1C1ac12ABac12b。(2)N 是 BC 的中点，A1N A1A ABBNab12BCab12AD ab12c。(3)M 是 AA1 的中点，MP MA AP12A1A AP12aac12b
11、 12a12bc。又NC1 NC CC1 12BCAA112AD AA1 12ca，MP NC1 12a12bc a12c32a12b32c。【答案】(1)ac12b(2)ab12c(3)32a12b32c反思归纳 确定要表示的向量的终点是否是三角形边的中点，若是，利用平行四边形法则即可。若不是，利用封闭图形，寻找到所要表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系，进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧。一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径结果应是唯一的。【变式训练】在三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点
12、，G 是ABC 的重心，用基向量OA，OB，OC 表示MG，OG。【解析】MG MA AG12OA 23AN12OA 23(ON OA)12OA 2312(OB OC)OA 16OA 13OB 13OCOG OM MG 12OA 16OA 13OB 13OC13OA 13OB 13OC。【答案】MG 16OA 13OB 13OC，OG 13OA 13OB 13OC【典例 2】如图所示，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1，点 M，N 分别在 AC1 和 BC 上，且满足AM kAC1，BNkBC(0k1)。(1)向量MN 是否与向量AB，AA1 共面？(2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1 平
13、行？考点二共线、共面定理的应用【解析】(1)AM kAC1，BNkBC，MN MA ABBNkC1A ABkBCk(C1A BC)ABk(C1A B1C1)ABkB1A ABABkAB1ABk(AA1 AB)(1k)ABkAA1，由共面向量定理知向量MN 与向量AB，AA1 共面。(2)当 k0 时，点 M、A 重合，点 N、B 重合，MN 在平面 ABB1A1 内，当 0k1 时，MN 不在平面 ABB1A1 内，又由(1)知MN 与AB、AA1 共面，所以 MN平面 ABB1A1。【答案】(1)共面(2)平行反思归纳 三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PAPBMP xMA
14、 yMB对空间任一点 O，OP OA tAB对空间任一点 O，OP OM xMA yMB对空间任一点 O，OP xOA(1x)OB对空间任一点 O，OP xOM yOA(1xy)OB【变式训练】(2017抚州模拟)如图在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 是平行四边形，E，F，G 分别是 A1D1，D1D，D1C1 的中点。(1)试用向量AB，AD，AA1 表示AG；(2)用向量方法证明平面 EFG平面 AB1C。【解析】设ABa，AD b，AA1 c，(1)由图得AG AA1 A1D1 D1Gcb12DC 12abc12ABAD AA1。(2)证明：由题图得：ACABBCa
15、b，EG ED1 D1G 12b12a12AC，EG 与AC无公共点。EGAC，EG平面 AB1C。又AB1 ABBB1 ac，FG FD1 D1G 12c12a12AB1，FG 与AB1 无公共点，FGAB1，FG平面 AB1C，又FGEGG，平面 EFG平面 AB1C。【答案】(1)AG 12ABAD AA1 (2)见解析【典例 3】如图所示，在平行四边形 ABCD 中，ABACCD1，ACD90，把ADC 沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60角，求 BD的长。考点三空间向量数量积的应用【解析】AB 与 CD 成 60角，BA，CD 60或 120。又ABACCD1，ACCD
16、，ACAB，|BD|BD 2 BAACCD 2 BA 2AC 2CD 22BAAC2ACCD 2BACD11100211cosBA，CD 32cosBA，CD ，|BD|2 或 2。BD 的长为 2 或 2。【答案】2 或 2反思归纳 1.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置。2利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角。3可以通过|a|a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解。【变式训练】已知空间四边形 OABC 各边及对角线长 AC，OB 都相等，E，F 分别为 AB，OC 的中点，求异面直线 OE 与 BF 所成角的
17、余弦值。【解析】如图所示，设OA a，OB b，OC c，且设各棱长及对角线长均为 1，故|a|b|c|1，abacbc12，且|OE|BF|32。OE BF12(OA OB)(OF OB)12a12b 12cb14ac14bc12ab12|b|212，cosOE，BF OE BF|OE|BF|23。异面直线所成角的范围为0，2，异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为23。【答案】23【典例 4】(2016昆明模拟)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1AD1，E 为 CD 的中点。(1)求证：B1EAD1；(2)在棱 AA1 上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若
18、存在，求 AP的长；若不存在，说明理由。考点四利用空间向量解决平行与垂直问题【解析】以 A 为原点，AB，AD，AA1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。设 ABa。(1)证明：A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，Ea2，1，0，B1(a,0,1)，故AD1(0,1,1)，B1E a2，1，1，因为B1E AD1 a2011(1)10，所以 B1EAD1。(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z0)，使得 DP平面 B1AE，此时DP(0，1，z0)，再设平面 B1AE 的一个法向量为 n(x，y，z)，AB1(a,0,1)
19、，AEa2，1，0。因为 n平面 B1AE，所以 nAB1，nAE，得axz0，ax2 y0，取 x1，则 ya2，za，得平面 B1AE 的一个法向量 n1，a2，a。要使 DP平面 B1AE，只要 nDP，有a2az00，解得 z012。又 DP平面 B1AE，所以存在点 P，满足 DP平面 B1AE，此时 AP12。【答案】(1)见解析(2)存在点 P，AP12反思归纳 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思维流程1根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。2假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方
20、程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。【变式训练】(2016怀化模拟)如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，点 M 是 BD 的中点，AE12CD，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。(1)求证：EM平面 ABC；(2)求出该几何体的体积；(3)试问在棱 CD 上是否存在一点 N，使 MN平面 BDE？若存在，确定点 N 的位置；若不存在，请说明理由。【解析】(1)证明：因为 M 为 DB 的中点，取 BC 中点 G，连接 MG，AG，所以 MGDC，且 MG12DC。所以 MGAE 且 MGAE，所以
21、四边形 AGME 为平行四边形，所以 EMAG。又 AG平面 ABC，ME平面 ABC，所以 ME平面 ABC。(2)由题意知，EA平面 ABC，DC平面 ABC，AEDC，AE2，DC4，ABAC，且 ABAC2，因为 EA平面 ABC，所以 EAAB。又 ABAC，EAACA，所以 AB平面 ACDE，所以四棱锥 BACDE 的高 hAB2，梯形 ACDE 的面积 S6，所以 VBACDE13Sh4，即所求几何体的体积为 4。(3)以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，D(2,0,4)，E(0,0,2)，M(1,1,2)，D
22、B(2,2，4)，DE(2,0，2)，DC(0,0，4)，DM(1,1，2)。假设在 DC 上存在一点 N 满足题意，设DN DC(0,0，4)，0,1，则NM DM DN(1,1，2)(0,0，4)(1,1，24)，所以NM DB 0，NM DE 0，即228160，2480，解得 340,1。所以棱 DC 上存在一点 N，满足 DN34DC 时，NM平面 BDE。【答案】(1)见解析(2)4(3)存在一点 N，DN34DC微考场 新提升 考题选萃 随堂自测 1在空间四边形 ABCD 中，ABa，BCb，AD c，则CD 等于()AabcBcabCabcDbac解析 如图所示，CD CBBD
23、 CB(AD AB)bcacab。故选 B。答案 B2已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别是边OA，BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且使 MG2GN，则用向量OA，OB，OC 表示向量OG 正确的是()A.OG OA 23OB 23OCB.OG 12OA 23OB 23OCC.OG 16OA 13OB 13OCD.OG 16OA 13OB 23OC解析 OG OM MG 12OA 23MN 12OA 23(ON OM)12OA 23OB OC2OA216OA 13OB 13OC。故选 C。答案 C3在空间四边形 ABCD 中，ABCD ACDB AD BC()
24、A1 B0C1 D不确定解析 如图所示，令ABa，ACb，AD c，则ABCD AC DB AD BC a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0。故选 B。答案 B4已知点 A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若AP2PB，则|PD|的值是_。解析 设 P(x，y，z)，AP(x1，y2，z1)。PB(1x,3y,4z)，由AP2PB得点 P 坐标为13，83，3，又 D(1,1,1)，|PD|773。答案 7735如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别是棱 BC，DD1 上的点，如果 B1E平面 ABF，则 CE 与 DF 的和为_。解析 以 D1A1，D1C1，D1D 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 CEx，DFy，则易知 E(x,1,1)，B1(1,1,0)，所以B1E(x1,0,1)，又F(0,0,1y)，B(1,1,1)，所以FB(1,1，y)，由于 ABB1E，故若 B1E平面 ABF，只需FBB1E(1,1，y)(x1,0,1)0 xy1。答案 1
