1、第六章不等式、推理与证明第六节直接证明与间接证明微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解反证法的思考过程和特点。2015，全国卷，18,6分(直接证明)2015，江苏卷，23,10分(反证法)2014，山东卷，4,5分(反证法)直接证明与间接证明常以函数、不等式、数列、解析几何等为背景考查，题型以解答题为主。微知识 小题练 教材回扣 基础自测 自|主|排|查 1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证
2、明的结论_从要证明的出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示文字语言因为所以或由得要证只需证即证PQ1 Q1Q2 QnQQP1 P1P2 得到一个明显成立的条件推理论证成立结论充分条件 2.间接证明 反证法：假设命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。矛盾不成立 微点提醒 1分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件。2综合法和分析法都是直接证明的方法，
3、反证法是间接证明的方法。3用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况。然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾。【解析】假设 PQ，只需 P2Q2，即 2a132 a6a72a132 a8a5，只需 a213a42a213a40。因为 4240 成立，所以 PQ 成立。故选 A。【答案】A小|题|快|练一、走进教材1(选修 22P89 练习 T2 改编)若 P a6 a7，Q a8a5(a0)，则 P，Q 的大小关系是()APQBPQCP0，a0，b0，且 ab。故选 D。【答案】D2如果 a ab ba bb a，则实数 a，b 应满足的条件是()A
4、ab0 BabbDa0，b0，且 ab【解析】因为a1b b1c c1aa1a b1b c1c 6，当且仅当 abc 时取等号，所以三个数中至少有一个不小于 2。故选 D。【答案】D3设 a，b，c 都是正数，则 a1b，b1c，c1a三个数()A都大于 2B都小于 2C至少有一个不大于 2D至少有一个不小于 2 4用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180矛盾，则AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设AB90。正确顺序的序号排列为_。【解析】由反证法证明的步骤知，先
5、反设，即，再推出矛盾，即，最后作出判断，肯定结论，即，顺序应为。故填。【答案】5命题“a，b是实数，若|a1|(b1)20，则ab1”，用反证法证明时应假设_。【解析】ab1表示a1且b1，故其否定是a1，或b1。故填a1，或b1。【答案】a1，或b1微考点 大课堂 考点例析 对点微练【证明】要证明fx1fx22f x1x22，即证明 因此只要证明考点一分析法【典例 1】已知函数 f(x)3x2x，求证：对于任意的 x1，x2R，均有fx1fx22f x1x22。反思归纳 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法
6、则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。【证明】要证a2 1a2 2a1a2，只要证a2 1a22a1a 2。a0，故只要证a2 1a22 2a1a 2 2，即 a2 1a24 a2 1a24a22 1a22 2a1a 2，【变式训练】已知 a0，求证：a21a2 2a1a2。从而只要证 2 a2 1a2 2a1a，只要证 4a2 1a2 2a22 1a2，即 a2 1a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立。考点二综合法【典例 2】在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinAsinBsinBsinCcos2B1。(1)求证：a，b，c 成等差数列；(2)若
7、C23，求证：5a3b。【证明】(1)由已知得 sinAsinBsinBsinC2sin2B，因为 sinB0，所以 sinAsinC2sinB，由正弦定理，有 ac2b，即 a，b，c 成等差数列。(2)由 C23，c2ba 及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有 5ab3b20，所以ab35，即 5a3b。反思归纳 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法。其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性。【解析】(1)f(x)11x，g(x)bxx2，由题意得g
8、0f0，f0g0，解得 a0，b1。【变式训练】已知函数 f(x)ln(1x)，g(x)abx12x213x3，函数 yf(x)与函数 yg(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线。(1)求 a，b 的值；(2)证明：f(x)g(x)。(2)证明：令 h(x)f(x)g(x)ln(x1)13x312x2x(x1)。h(x)1x1x2x1x3x1。h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数。h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即 f(x)g(x)。【答案】(1)a0，b1(2)见解析【解析】(1)分两种情况讨论。当q1时，数列an是首项为a1的常数数列，所以Sna1a1a1n
9、a1。当q1时，Sna1a2an1anqSnqa1qa2qan1qan。上面两式错位相减：【典例3】设an是公比为q的等比数列。(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列。考点三反证法(1q)Sna1(a2qa1)(a3qa2)(anqan1)qana1qanSna1qan1q a11qn1q。综上，Snna1，q1，a11qn1q，q1。(2)使用反证法：设an是公比 q1 的等比数列，假设数列an1是等比数列，则(a21)2(a11)(a31)，即(a1q1)2(a11)(a1q21)，整理得 a1(q1)20 得 a10 或 q1 均与题设矛盾，故数列an1不
10、是等比数列。【答案】(1)Snna1，q1，a11qn1q，q1(2)见解析 反思归纳(1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证。(2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的。【解析】(1)由已知得a1 21，3a13d93 2，d2，故 an2n1 2，Snn(n 2)。【变式训练】等差数列an的前 n 项和为 Sn，a11 2，S393 2。(1)求数列an的通项 an 与前 n 项和 Sn；(2)设 bnSnn (nN*)，求证：数列bn中任
11、意不同的三项都不可能成为等比数列。(2)证明：由(1)得 bnSnn n 2。假设数列bn中存在三项 bp，bq，br(p、q、rN*，且互不相等)成等比数列，则 b2qbpbr。即(q 2)2(p 2)(r 2)。(q2pr)2(2qpr)0。p，q，rN*，q2pr0，2qpr0，pr22pr，(pr)20，pr。与 pr 矛盾。所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列。【答案】(1)an2n1 2，Snn(n 2)(2)见解析微考场 新提升 考题选萃 随堂自测 1分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的()A充分条件B必要条件 C充要条件D等价条件 答案 A解析 a2b2
12、2ab，2(a2b2)(ab)216。a2b28，1a2b218。答案 D2若 a0，b0，且 ab4，则下列不等式中恒成立的是()A.1ab12B.1a1b1C.ab2 D.1a2b218 3用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()Aa，b，c中至少有两个偶数 Ba，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 Ca，b，c都是奇数 Da，b，c都是偶数 答案 B证明 a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，又a，b，c 为互不相等的非负数，上面三个式子中都不能取“”。a2b2c2abbcac。abbc2 ab2c，bcac2 abc2，abac2 a2bc，又 a，b，c 为互不相等的非负数，abbcac abc(a b c)。a2b2c2 abc(a b c)。4已知 a，b，c 为互不相等的非负数。求证：a2b2c2 abc(a b c)。5设数列an满足 a10 且11an111an1。(1)求an的通项公式；(2)设 bn1 an1n，记 Snk1nbk，证明：Sn1。解析(1)由题设11an111an1，得11an 是公差为 1 的等差数列。又11a11，故11ann。所以 an11n。(2)证明：由(1)得bn1 an1n n1 nn1 n 1n1n1，Snk1nbkk1n1k1k1 11n11。答案(1)an11n(2)见解析