1、第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解数学归纳法的原理(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(重点、难点)1.通过数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象的核心素养.2.通过数学归纳法的应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当 n 取_时命题成立；第一个值 n0(n0N*)(2)归纳递推：假设 nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都
2、成立这种证明方法叫做数学归纳法nk1思考：数学归纳法的第一步 n0 的初始值是否一定为 1?提示 不一定如证明 n 边形的内角和为(n2)180，第一个值 n03.2数学归纳法的框图表示1下面四个判断中，正确的是()A式子 1kk2kn(nN*)中，当 n1 时，式子的值为 1B式子 1kk2kn1(nN*)中，当 n1 时，式子的值为1kC式子 1121312n1(nN*)中，当 n1 时，式子的值为 11213D设 f(n)1n1 1n213n1(nN*)，则 f(k1)f(k)13k213k313k4C A 中，n1 时，式子1k；B 中，n1 时，式子1；C 中，n1 时，式子1121
3、3；D 中，f(k1)f(k)13k213k313k4 1k1.故正确的是C.2如果命题 p(n)对所有正偶数 n 都成立，则用数学归纳法证明时，先验证 n_成立答案 23.已知 Sn11313515712n12n1，则 S1_，S2_，S3_，S4_，猜想 Sn_.13 25 37 49 n2n1 分别将 1,2,3,4 代入得 S113，S225，S337，S449，观察猜想得 Snn2n1.合 作 探 究 释 疑 难 用数学归纳法证明等式【例 1】(1)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，“从 k 到 k1”左端增乘的代数式为_(2)用数学归纳法证明：1
4、213 2235n22n12n1 nn122n1(nN*)(1)2(2k1)令 f(n)(n1)(n2)(nn)，则f(k)(k1)(k2)(kk)，f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，所以f k1f k2k12k2k12(2k1)(2)证明：当 n1 时，12131223成立 假设当 nk(nN*)时等式成立，即有 1213 2235k22k12k1 kk122k1，则 当 n k 1 时，1213 2235 k22k12k1 k122k12k3 kk122k1k122k12k3k1k222k3，即当 nk1 时等式也成立 由可得对于任意的 nN*等式都成立用数学归纳法证
5、明恒等式时，应关注以下三点：(1)弄清 n 取第一个值 n0 时等式两端项的情况；(2)弄清从 nk 到 nk1 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；(3)证明 nk1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝 nk1 证明目标的表达式变形跟进训练1求证：112 13 14 12n1 12n 1n1 1n2 12n(nN*)证明 当 n1 时，左边11212，右边12，所以等式成立 假设 nk(kN*)时，112131412k1 12k 1k11k2 12k成立 那么当 nk1 时，112131412k1 12k12k1112k1 1k11k2 12k12k112k1 1k2 1k
6、3 12k12k11k112k1 1k111k121k1k12k1，所以 nk1 时，等式也成立 综上所述，对于任意 nN*，等式都成立.归纳猜想证明【例 2】已知数列 114，147，1710，13n23n1的前 n 项和为 Sn，计算 S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想 Sn 的表达式，并用数学归纳法进行证明解 S1 114 14；S214 147 27；S327 1710 310；S4 310 11013 413.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数 n 一致，分母可用项数 n 表示为 3n1.于是可以猜想 Snn3n1.下面用数学归纳法证明这个猜想(1)当 n1 时，
7、左边S114，右边n3n1 1311 14，猜想成立(2)假设当 nk(kN*)时猜想成立，即 114 147 1710 13k23k1 k3k1，则当 nk1 时，1141471710 13k23k113k123k11k3k1 13k13k4 3k24k13k13k4 3k1k13k13k4 k13k11，所以，当 nk1 时猜想也成立 根据(1)和(2)，可知猜想对任意 nN*都成立(1)“归纳猜想证明”的一般环节(2)“归纳猜想证明”的主要题型已知数列的递推公式，求通项或前 n 项和由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在给出一些简单的命题(n1,2,3，)
8、，猜想并证明对任意正整数 n 都成立的一般性命题跟进训练2数列an满足 Sn2nan(Sn 为数列an的前 n 项和)，先计算数列的前 4 项，再猜想 an，并证明解 由 a12a1，得 a11；由 a1a222a2，得 a232；由 a1a2a323a3，得 a374；由 a1a2a3a424a4，得 a4158 .猜想 an2n12n1 .下面证明猜想正确：(1)当 n1 时，由上面的计算可知猜想成立(2)假设当 nk 时猜想成立，则有 ak2k12k1，当 nk1 时，Skak12(k1)ak1，ak1122k1Sk k112(2k2k12k1 )2k112k11，所以，当 nk1 时，
9、等式也成立 由(1)和(2)可知，an2n12n1对任意正整数 n 都成立用数学归纳法证明不等式探究问题1你能指出下列三组数的大小关系吗？(1)n，nn1，nn1(nN*)；(2)1n2，1nn1，1nn1(nN*，n1)；(3)12n1 12n，12n1(nN*)提示(1)nn1n nn1；(2)1nn1 1n21nn1；(3)12n1 12n 12n 12n 22n 12n1，12n1 12n2k k12k1 k kN*，k1，1k2k k1.(2)1k21kk11k 1k1.(3)1k21k2 2k 12k1 1k12 .又112 13 12k 12k1 12k2 12k2k 12 k2
10、k 12k 12(k1)，即当 nk1 时，命题成立 由(1)和(2)可知，命题对所有的 nN*都成立跟进训练3用数学归纳法证明：1121312n11)证明(1)当 n2 时，左边11213，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当 nk 时，不等式成立，即 1121312k1k，则当 nk1 时，有 1121312k1 12k12k112k11k 12k12k112k11k12k2k k1，所以，当 nk1 时不等式成立 由(1)和(2)知，对于任意大于 1 的正整数 n，不等式均成立4用数学归纳法证明：1 122 132 1n221n(n2)证明(1)当 n2 时，1 1225421232
11、，命题成立(2)假设 nk 时命题成立，即 1 122 1321k221k.则当 nk1 时，1 122 1321k21k12 21k1k12 21k1kk1 21k1k 1k12 1k1.即当 nk1 时命题成立 由(1)和(2)知原不等式在 n2 时均成立用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知 f(k)g(k)，求证 f(k1)g(k1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当 nk1 时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论课 堂 小
12、 结 提 素 养 在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为 1；(2)递推是关键：正确分析由 nk 到 nk1 时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明1用数学归纳法证明 1aa2an11an21a(a1，nN*)，在验证 n1 成立时，左边计算所得的项是()A1 B1aC1aa2D1aa2a3C 当 n1 时，左边1aa111aa2，故 C 正确2用数学归纳法证明 123(2n1)(n1)(2n
13、1)时，从“nk”到“nk1”，左边需增添的代数式是()A(2k1)(2k2)B(2k1)(2k1)C(2k2)(2k3)D(2k2)(2k4)C 当 nk 时，左边是共有 2k1 个连续自然数相加，即 123(2k1)，所以当 nk1 时，左边共有 2k3 个连续自然数相加，即 123(2k1)(2k2)(2k3)所以左边需增添的代数式是(2k2)(2k3)故选 C.3已知 f(n)112131n(nN*)，计算得 f(2)32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，由此推测，当 n2 时，有_答案 f(2n)n224用数学归纳法证明：122 1321n1212 1n2.假
14、设 nk 时，不等式成立，则当 nk1 时，应推证的目标不等式是_122 1321k2212 1k3 从不等式结构看，左边 nk1时，最后一项为1k22，前面的分母的底数是连续的整数，右边 nk1 时，式子为121k12，即不等式为 122 1321k22121k3.5 用 数 学 归 纳 法 证 明：当 n2，nN*时，114 1191 116 1 1n2 n12n.证明(1)当 n2 时，左边11434，右边212234，n2 时等式成立(2)假设当 nk(k2，kN*)时等式成立，即114 119 1 116 11k2 k12k，那么当 nk1 时，114 119 1 116 11k211k12 k12k 11k12 k1212kk1 k22k1 k112k1.当 nk1 时，等式也成立 根据(1)和(2)知，对任意 n2，nN*，等式都成立点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
