1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用一、选择题1.(2015济宁模拟)已知向量a=(1,),b=(cos,sin),若ab,则tan=()A.B.C.-D.-【解析】选B.因为ab,所以sin-cos=0,即sin=cos.故tan=.2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,m=(bcosC,-1),n=(c-3a)cosB,1),且mn,则cosB的值为()A.B.-C.D.-【解题提示】利用已知转化为边角关系后利用余弦定理角化边后可解.【解析】选
2、A.由mn,得bcosC+(c-3a)cosB=0.所以=.则c(a2+b2-c2)=3a(a2+c2-b2)-c(a2+c2-b2).所以2a2c=3a(a2+c2-b2),则=.于是cosB=.3.(2015临沂模拟)若向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),则a与b一定满足()A.a与b的夹角等于-B.abC.abD.(a+b)(a-b)【解题提示】欲求a与b满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判断a与b是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.【解析】选D.因为ab=(cos,sin)(cos,sin)=cos(-),这表明这两个向量的夹角的余弦值为cos(-).同时,也
3、不能得出a与b的平行和垂直关系.因为计算得到(a+b)(a-b)=0,所以(a+b)(a-b).故选D.4.已知a=,b=(cos,sin),(0,),则|a-b|的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1C.(0,)D.(0,【解析】选C.因为a-b=,所以|a-b|=,因为(0,),所以,cos(0,1).故|a-b|(0,).5.(2015郑州模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=,=-2且a+b=5,则c等于()A.B.C.4D.【解题提示】由已知cosC=,=-2,利用数量积公式得到ab=8,再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC可求c.【解析
4、】选A.由已知cosC=,=-2,得bacos(-C)=-2bacosC=2,所以ab=8,利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-28-4=5.所以c=.故选A.二、填空题6.在ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若mn,mp,则ABC的形状是.【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解.【解析】由mn可得,b=2ccosA.由正弦定理可得sinB=2sinCcosA,即sin(A+C)=2sinCcosA.从而sinAcosC+cosAsin
5、C=2sinCcosA,故sinAcosC-cosAsinC=0.即sin(A-C)=0,又-A-C,所以A-C=0,即A=C.由mp可得c-2bcosA=0,从而sinC-2sinBcosA=0,故sin(A+B)-2sinBcosA=0.即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B.所以A=B=C.故三角形为等边三角形.答案:等边三角形7.(2015银川模拟)已知正三角形OAB中,点O为原点,点B的坐标是(-3,4),点A在第一象限,向量m=(-1,0),记向量m与向量的夹角为,则sin的值为.【解析】设向量与x轴正向的夹角为,则+=+=,且有si
6、n=,cos=-,sin=sin(-)=sin=sin-cos=-=.答案:8.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,若a=4,b=5,则在方向上的投影为.【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解.【解析】由2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,得cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.则cos(A-B+B)=-,即cosA=-.由0Ab,则AB,故B=,根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2
7、5c,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为|cosB=.答案:三、解答题9.(2015潍坊模拟)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,m=(2a+c,b),n=(cosB,cosC),且mn=0.(1)求角B的大小.(2)设函数f(x)=sin2xcos(A+C)-cos2x,求函数f(x)的最小正周期,最大值及当f(x)取得最大值时x的值.【解析】(1)由已知得,(2a+c)cosB+bcosC=0,即(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0.所以2sinAcosB+sin(B+C)=0,即
8、2sinAcosB+sinA=0.因为0A,所以sinA0.所以2cosB+1=0,所以cosB=-.又0B,所以B=.(2)因为f(x)=sin2xcos(A+C)-cos2x=-sin2xcosB-cos2x=sin2x-cos2x=sin.故f(x)的最小正周期T=.当2x-=2k+,kZ即当x=k+,kZ时,f(x)max=1.已知平面向量a=(cos,sin),b=(cosx,sinx),c=(sin,-cos),其中0,且函数f(x)=(ab)cosx+(bc)sinx的图象过点.(1)求的值及函数f(x)的单调增区间.(2)先将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,然后将得到函数
9、图象上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在上的最大值和最小值.【解题提示】(1)由平面向量数量积的运算及三角函数的相关公式化简函数解析式,由函数f(x)的图象过定点确定的值,并由此求函数f(x)的单调增区间.(2)先根据图象变换的法则确定函数g(x)的表达式,并由此根据给定的范围求函数g(x)的最值.【解析】(1)因为ab=coscosx+sinsinx=cos(-x),bc=cosxsin-sinxcos=sin(-x).所以f(x)=(ab)cosx+(bc)sinx=cos(-x)cosx+sin(-x)sinx=cos(-x-x)=c
10、os(2x-),即f(x)=cos(2x-),所以f=cos=1,而0,所以=.所以f(x)=cos,由2k-2x-2k.得k-xk+,即f(x)的单调增区间为(kZ).(2)由(1)得,f(x)=cos,平移后的函数为y=cos=cos,于是g(x)=cos.当x时,-x-.所以cos1,即当x=时,g(x)取得最小值,当x=时,g(x)取得最大值1.10.(2015保定模拟)ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC-),且mn.(1)求A的大小.(2)现给出下列四个条件:a=1;b=2sinB;2c-(+1)b=0;
11、B=45.试从中再选择两个条件以确定ABC,求出你所确定的ABC的面积.【解析】(1)因为mn,所以-cosBcosC+sinBsinC-=0,即cosBcosC-sinBsinC=-,cos(B+C)=-,因为A+B+C=180,所以cos(B+C)=-cosA,所以cosA=,又0A180,所以A=30.(2)选择可确定ABC.因为A=30,a=1,2c-(+1)b=0,由余弦定理12=b2+-2bbcos30,整理得b2=2,b=,c=.所以SABC=bcsinA=.【一题多解】(2)选择可确定ABC.因为A=30,a=1,B=45,所以C=105.因为sin105=sin(60+45)
12、=sin60cos45+cos60sin45=,由正弦定理=,得b=,所以SABC=absinC=1=.11.已知向量a=(cos,sin),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin,cosx+2cos),其中0x.(1)若=,求函数f(x)=bc的最小值及相应x的值.(2)若a与b的夹角为,且ac,求tan2的值.【解析】(1)因为b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin,cosx+2cos),=,所以f(x)=bc=cosxsinx+2cosxsin+sinxcosx+2sinxcos=2sinxcosx+(sinx+cosx).令t=sinx+cosx,则2sinxcosx=t2-1,且-1t.则y=t2+t-1=-,-1t,所以t=-时,ymin=-,此时sinx+cosx=-,即sin=-,因为x,所以x+,所以x+=,所以x=.所以函数f(x)的最小值为-,相应x的值为.(2)因为a与b的夹角为,所以cos= =coscosx+sinsinx=cos(x-).因为0x,所以0x-,所以x-=.因为ac,所以cos(sinx+2sin)+sin(cosx+2cos)=0,所以sin(x+)+2sin2=0,即sin+2sin2=0.所以sin2+cos2=0,所以tan2=-.关闭Word文档返回原板块
