1、8.5 轨迹问题巩固夯实基础 一、自主梳理 1.曲线与方程的关系 曲线C 方程f(x,y)=0. 2.求轨迹方程的基本方法 直接求；代入(相关点)法；参数法；定义法；待定系数法. 二、点击双基1.动点P到直线x=1的距离与它到点A(4，0)的距离之比为2，则P点的轨迹是 ( )A.中心在原点的椭圆 B.中心在(5，0)的椭圆C.中心在原点的双曲线 D.中心在(5，0)的双曲线答案：B2.若动圆与圆(x+2)2+y2=4外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A.y2+8x=0 B.y2-8x=0 C.y2-12x+12=0 D.y2+12x-12=0解析：定义法.动圆圆心到定圆圆
2、心(-2,0)与到直线x=4的距离相等(都是动圆的半径)，p=6. y2=12(x-1),即选C.答案：C3.平面直角坐标系中，O为坐标原点，两点A(3,1)、B(-1,3)，若点C满足=+，其中、R，且+=1，则点C的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-1)2=5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0解析：直接代入法.设C(x,y), (x,y)=(3,1)+(-1,3). 利用+=1,消去、得x+2y=5.答案：D4.F1、F2为椭圆+=1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是_.解析：延长F1
3、D与F2A交于B，连结DO，可知DO=F2B=2，动点D的轨迹方程为x2+y2=4.答案：x2+y2=45.已知A(0，7)、B(0，-7)、C(12，2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是（ ）A.y2-=1（y-1） B.y2-=1 C.y2-=-1 D.x2-=1解析：由题意AC=13，BC=15，|AB|=14， 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, AF-BF=BC-AC=2. 故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支. 又c=7,a=1,b2=48, 所以轨迹方程为y2-=1(y-1).答案：A诱思实例点拨【例1】 求过点(0，2)的
4、直线被椭圆x2+2y2=2所截弦的中点的轨迹方程.解：设直线方程为y=kx+2, 把它代入x2+2y2=2, 整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0. 要使直线和椭圆有两个不同交点，则0，即k-或k. 设直线与椭圆两个交点为A(x1，y1)、B（x2，y2），中点坐标为C(x,y)，则 x=-,y=-=. 从参数方程(k-或k),消去k得x2+2（y-1）2=2, 且x，0y【例2】 在PMN中，tanPMN= ,tanMNP=-2,且PMN的面积为1，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程.剖析：如下图，以直线MN为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则
5、所求椭圆方程为+=1.显然a2、b2是未知数，但a2、b2与已知条件没有直接联系，因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元，或改造已知条件.解法一：如下图，过P作PQMN，垂足为Q， 令|PQ|=m,于是可得 |MQ|=|PQ|cotPMQ=2m, |QN|=|PQ|cotPNQ=m. |MN|=|MQ|-|NQ|=2m-m=m. 于是SPMN=|MN|PQ|=mm=1. 因而m=,|MQ|=2,|NQ|=,|MN|=. |MP|= = =, |NP|= = =. 以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设椭圆方程为+=1(ab0). 则2a=|MP|+|NP|=, 2c=|MN|=
6、, 故所求椭圆方程为+=1.解法二：设M(-c,0)、N(c,0),P(x,y),y0, 则 解之，得x=,y=,c=. 设椭圆方程为b2x2+a2y2=a2b2,则 解之，得a2=,b2=3. （以下略）讲评：解法一选择了与a较接近的未知元|PM|、|PN|，但需改造已知条件，以便利用正弦定理和面积公式；解法二以条件为主，选择了与条件联系最直接的未知元x、y、c.本题解法较多，但最能体现方程思想方法的、学生易于理解和接受的是这两种解法.链接拓展 若把PMN的面积为1改为=,求椭圆方程. 提示：由tanPMN=,tanMNP=-2,易得sinMPN=,cosMPN=. 由=,得|=. 易求得|
7、PM|=,|PN|=. 进而求得椭圆方程为+=1.【例3】 （2005江苏高考）如图,圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM=2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.剖析：此题是以O1O2所在直线为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，把PM、PN的关系转化为PO1与PO2的关系，这样就把P、M、N三个动点问题转化为关于一个动点P的问题.解：作直线O1O2，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，连结O1M、O2N，设P点坐标为(x,y). PM、PN分别为O1、O2的切线，
8、 O1MPM,O2NPN. PO1M，PO2N为直角三角形. PO12=PM2+O1M2=PM2+1, PO22=PN2+O2N2=PN2+1. PM=PN, PM2=2PN2. PO12=2PN2+1, 2PO22=2(PN2+1)=2PN2+2. 由-得2PO22-PO12=1. PO22=(x-2)2+y2,PO12=(x+2)2+y2, 2(x-2)2+y2-(x+2)2+y2=1. 2x2-8x+8+2y2-x2-4x-4-y2-1=0. x2-12x+y2+3=0. (x-6)2+y2=33.讲评：正确建系是解好本题的首要任务,用PM、PN来表示PO1、PO2是本题的核心，这样就把三个动点问题转化为只关于一个动点P的问题.体现出转化思想的重要性，转化时用到了消去变量PM、PN的方法.