1、7.4 简单的线性规划巩固夯实基础 一、自主梳理 1.二元一次不等式表示平面区域；(直线定边界、选点定区域) 一般地，若Ax+By+C0,则当B0时表示直线Ax+By+C=0的上方；当B0时，表示直线Ax+By+C=0的下方.若Ax+By+C0，与上述情况相反. 2.线性规划 (1)约束条件、线性约束条件：变量x、y满足的一组条件叫做对变量x、y的约束条件，如果约束条件都是关于x、y的一次不等式，则约束条件又称为线性约束条件； (2)目标函数、线性目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数.如果这个解析式是x、y的一次解析式，则目标函数又称为线性目标函数； (3)线
2、性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题； (4)可行域：满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域； (5)最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解. 3.求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组,求最值. 二、点击双基1.下列命题中正确的是（ ）A.点(0,0)在区域x+y0内 B.点(0,0)在区域x+y+12x内 D.点(0,1)在区域x-y+10内解析：将(0,0)代入x+y0,成立.答案：A2.在直角坐标系中，满足不等式x2-y20的点(x,y)的集合所对应的阴影部分是
3、( )解析：x2-y20(x+y)(x-y)0或答案：B3.已知点P(3，-1)和Q(-1,2)在直线ax+2y-1=0两侧，则实数a的取值范围是( )A.1a3 B.a3 C.a3解析：由3a+2(-1)-1-a+22-10，得a3.答案：B4.点（-2，t）在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围是_.解析：（-2，t）在2x-3y+6=0的上方，则2(-2)-3t+60,解得t.答案：t5.不等式组表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有_个.解析：(1,1),(1,2),(2,1),共3个.答案：3诱思实例点拨【例1】 求三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的
4、个数.剖析：根据题意，可建立线性规划模型，把问题转化为求可行域内整点的个数.解：设三角形另两边长为x、y，则有(x、y为整数)作出可行域，如下图所示，因为1+2+3+11=66，所以可行域内的整点个数是66-(66-6)=36(个)，即满足条件的三角形有36个.【例2】 求由不等式x-1+y-12表示的平面区域的面积.剖析：依据条件画出所表达的区域,再根据区域的特点求其面积.解：x-1+y-12可化为 或或或 其平面区域如图. 面积S=44=8.链接拓展 若再求:;的值域，你会做吗？ 答案: （-,-）,+);1，5.【例3】 甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数f(x)、g(x)及
5、任意的x0,当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败的风险.(1)请解释f(0)、g(0)的实际意义；(2)当f(x)=x+4,g(x)=x+8时，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能地少投入宣传费用，问此时甲、乙两公司应各投入多少宣传费用？解：(1)f(0)表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要回避失败的风险，至少投入f(0)万元的宣传费；g(0)表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要回避失败的风险，至少要投入g(0)万元的宣传费. (2)将甲公司投入的宣传费用用x来表示，乙公司投入的宣传费用用y来表示，依题意，当yf(x)=x+4时，乙公司无失败的风险. 当xg(y)=y+8时，甲公司无失败的风险,即 如图所示，阴影部分区域表示甲、乙两公司均无失败的风险. 由解得x=20,y=24. 故在双方均无失败风险的情况下，甲公司至少投入20万元，乙公司至少投入24万元.