1、函数及其性质(强化练)一、选择题1下列函数中，与函数y为同一个函数的是()AyxByxCy Dyx2解析：选B.函数y的定义域为(，0，值域为0，)，而y的定义域为0，)，yx2的定义域为(，0)，所以排除C，D.又yx中，x0，所以y0，即值域为(，0，这与函数y的值域不同，所以排除A.故选B.2已知函数f(x)若f()f(1)0，则实数的值等于()A3 B1C1 D3解析：选A.因为f(1)2，所以f()f(1)2，当0时，20，所以(0，)所以0，12，得3.3(2019抚顺检测)已知函数f(x)的图像恒过点(1，1)，则函数f(x3)的图像恒过点()A(4，1) B(3，1)C(1，3
2、) D(1，4)解析：选A.函数f(x3)的图像看作函数f(x)的图像向右平移3个单位，函数f(x)的图像恒过点(1，1)，则函数f(x3)的图像恒过点(4，1)4如果函数yx2(1a)x2在区间(，4上是减函数，那么实数a的取值范围是()A5，) B(，3C9，) D(，7解析：选C.由题得4，a9.故选C.5下列函数中，既是偶函数又在(3，0)上单调递减的函数是()Ayx3 Byx21Cy|x|1 Dy解析：选C.A项为奇函数；B项为偶函数，但在(3，0)上单调递增，不合题意；C项，函数是偶函数，当x(3，0)时，yx1单调递减，符合题意；D项，函数的定义域为0，)，不关于原点对称，所以该
3、函数既不是奇函数也不是偶函数，不合题意故选C.6已知函数f(x)则函数f(x)的图像是()解析：选A.当x1时，y0，即图像过点(1，0)，D错；当x0时，y1，即图像过点(0，1)，C错；当x1时，y2，即图像过点(1，2)，B错故选A.7(2019河北辛集中学月考)若f(x0)，则f等于()A1 B.C. D.解析：选C.令，可得x2.所以f.故选C.8设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A|f(x)|g(x)是奇函数B|f(x)|g(x)是偶函数Cf(x)|g(x)|是奇函数Df(x)|g(x)|是偶函数解析：选D.根据题意有f(x)f(x)，g(
4、x)g(x)，所以f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数同理，易知选项A，B中的函数既不是奇函数也不是偶函数，选项C中的函数是偶函数. 9已知函数f(x)为偶函数，当x0，)时，f(x)x1，则f(x1)0的解集是()A(0，2) B(2，0)C(1，0) D(1，2)解析：选A.当x(，0)时，f(x)f(x)x1.由f(x1)0得或解得0x1或1x2，即0x2.故选A.10已知函数f(x)是R上的增函数，对任意实数a，b，若ab0，则有()Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f
5、(b)Df(a)f(b)f(a)f(b)解析：选A.因为ab0，所以ab，ba，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)故选A.二、填空题11已知f(x)在3，3上为奇函数，且f(3)2，则f(3)f(0)_解析：因为f(x)在3，3上为奇函数，所以f(0)0，f(x)f(x)因为f(3)2，所以f(3)2，所以f(3)f(0)2，故填2.答案：212已知函数yf(x)x是偶函数，且f(2)1，则f(2)_解析：由函数yf(x)x是偶函数，则f(2)2f(2)23，所以f(2)5.答案：513若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_解析：由f(
6、x)|2xa|可得函数f(x)的单调递增区间为，所以3，解得a6.答案：614已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f0，且在(0，)上单调递减，则xf(x)0的解集为_解析：因为函数f(x)为奇函数，f0，所以f0，不等式xf(x)0化为或结合函数图像可知的解集为，的解集为，所以不等式的解集为.答案：三、解答题15已知函数f(x)ax22(a1)x2.(1)若f(x)的单调区间为(，4)，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(，4)上是减函数，求实数a的取值范围解：(1)由题意知4，解得a.(2)当a0时，f(x)2x2，在(，4)上是减函数，所以a0满足；当a0时，由题意得解得0a.综上，实
7、数a的取值范围为.16已知函数f(x)，x3，2(1)求证：f(x)在3，2上是增函数；(2)求f(x)的最大值和最小值解：(1)证明：设x1，x2是区间3，2上的任意两个不相等的实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).由于3x1x22，则x1x20，x110，x210.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在3，2上是增函数(2)因为f(2)4，f(3)3，且f(x)在3，2上是增函数，所以函数f(x)的最大值是4，最小值是3.17已知f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x23x2.若当x1，3时，nf(x)m恒成立，求mn的最小值解：因为当x0时，f(x)x
8、23x2，所以当x3，1时，fminf，fmaxf(3)2.因为函数f(x)为奇函数，所以当x1，3时函数的最小值和最大值分别为2，所以m的最小值为，n的最大值为2.所以(mn)min(2)，即mn的最小值为.18已知函数f(x)，若函数f(x)是奇函数，且f(1)3，f(2)5.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)3f(x)，试证明函数g(x)在(0，1)上是减函数；(3)若不等式g(x)m在上恒成立，求m的取值范围解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)所以.即.所以bxc(bxc)所以cc.所以c0.所以f(x).因为f(1)3，f(2)5，所以3，5.所以a，b.所以f(x).(2)证明：g(x)3f(x)7.设x1，x2(0，1)且x1x2.g(x2)g(x1)77(x2x1).因为0x1x21，所以0x1x21，x1x210，x2x10.所以g(x2)g(x1)0，g(x2)g(x1)因此函数g(x)在(0，1)上是减函数(3)由(2)知g(x)在上为减函数所以g(x)在x处取最大值g.所以m.
