1、2016-2017学年广西玉林市陆川中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知M=y|y=x2，N=x|+y2=1，则MN=（）A（1，1），（1，1）B1C0，D0，12已知命题p：x+y2，q：x1且y1，则p是q的（）A充要条件B既不充分也不必要条件C充分不必要条件D必要而不充分条件3复数Z=（i为虚数单位）所对应复平面内的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4命题“x0R，x3x2+10”的否定是（）AxR，x3x2+10Bx0R，x3x2+10Cx0R，x3x2+10D不存
2、在xR，x3x2+105设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=（）AB6C5D6某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A2BCD37已知向量=（cos，2），=（sin，1），且，则tan（）等于（）A3B3CD8已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x4）=f（x）且在区间0，2上是增函数，则（）Af（25）f（11）f（80）Bf（80）f（11）f（25）Cf（11）f（80）f（25）Df（25）f（80）f（11）9某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60的扇形，则该几何体的侧面积为（）A12+B6+C
3、12+2D6+410如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是BC1、CD1的中点，则下列说法错误的是（）AMNABBMNACCMNCC1DMN平面ABCD11函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）ABCD12设函数f（x）=ax+sinx+cosx若函数f（x）的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为（）ABCD1，1二、填空题（每小题5分，共20分）13已知等差数列an中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是14设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点若AB的中点为
4、（2，2），则直线l的方程为15已知： =（3，1），=（0，5），且，则点C的坐标为16已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17已知曲线C1的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cossin+1=0（1）分别写出曲线C1与曲线C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求线段AB的长18如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是矩形，BC=PC，E
5、是PA的中点（1）求证：平面PBM平面CDE；（2）已知点M是AD的中点，点N是AC上一点，且平面PDN平面BEM若BC=2AB=4，求点N到平面CDE的距离192016年5月20日，针对部分“二线城市”房价上涨过快，媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措施（简称“国五条”）为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：月收入（百元）赞成人数15，25）825，35）735，45）1045，55）655，65）265，75）2（）试根据频率分布直方图估计这6
6、0人的中位数和平均月收入；（）若从月收入（单位：百元）在65，75）的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，求被选取的2人都不赞成的概率20已知椭圆C： +=1（ab0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+（yb）2=a2相切（1）求椭圆C的方程；（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下求AMN面积的最大值21如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线lx轴，点M为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆
7、右顶点，直线BM交椭圆C于点P（1）求椭圆C的方程（2）求证：APOM（3）试问： 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由22已知函数f（x）=在x=1处取得极值（1）求a的值，并讨论函数f（x）的单调性；（2）当x1，+）时，f（x）恒成立，求实数m的取值范围2016-2017学年广西玉林市陆川中学高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知M=y|y=x2，N=x|+y2=1，则MN=（）A（1，1），（1，1）B1C0，D0，1【考点】交集及其运算【分析】求出M
8、中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可【解答】解：由M中y=x20，得到M=0，+），由N中+y2=1，得到x，即N=，则MN=0，故选：C2已知命题p：x+y2，q：x1且y1，则p是q的（）A充要条件B既不充分也不必要条件C充分不必要条件D必要而不充分条件【考点】充要条件【分析】分别取一组满足命题p不满足命题q的特殊数，和一组满足命题q但不满足命题p的特殊数，代入验证，即可得到答案【解答】解：当x=1，y=0时，命题p：x+y2，成立，但命题q：x1且y1，不成立，则p是q不充分条件，当x=2，y=0时，命题q：x1且y1，成立，但命题p：x+y2，不成立，则p
9、是q不必要条件，故p是q的既不充分也不必要条件故选B3复数Z=（i为虚数单位）所对应复平面内的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得Z所对应点的坐标得答案【解答】解：由Z=，得复数Z=所对应复平面内的点的坐标为（），在第三象限故选：C4命题“x0R，x3x2+10”的否定是（）AxR，x3x2+10Bx0R，x3x2+10Cx0R，x3x2+10D不存在xR，x3x2+10【考点】命题的否定【分析】特称命题“x0M，p（x）”的否定为全称命题“xM，p（x）”【解答】解：特称命题“x0R，x3x2+10”的否定是
10、“xR，x3x2+10”故选A5设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=（）AB6C5D【考点】等差数列的性质【分析】根据等差数列的前n项和的性质，可得=， =，可得答案【解答】解：根据等差数列的前n项和的性质，可得=， =，那么=5故选C6某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A2BCD3【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V=3x=3故选D7已知向量=（cos，2），=（sin，1），且，则tan（）等于（）A3B3CD【考点】平面
11、向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正切函数【分析】根据两个向量共线的充要条件，得到关于三角函数的等式，等式两边同时除以cos，得到角的正切值，把要求的结论用两角差的正切公式展开，代入正切值，得到结果【解答】解：，cos+2sin=0，tan=，tan（）=3，故选B8已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x4）=f（x）且在区间0，2上是增函数，则（）Af（25）f（11）f（80）Bf（80）f（11）f（25）Cf（11）f（80）f（25）Df（25）f（80）f（11）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可【解答】解：f（x4）=f
12、（x），f（x8）=f（x4）=f（x），即函数的周期是8，则f（11）=f（3）=f（34）=f（1）=f（1），f（80）=f（0），f（25）=f（1），f（x）是奇函数，且在区间0，2上是增函数，f（x）在区间2，2上是增函数，f（1）f（0）f（1），即f（25）f（80）f（11），故选：D9某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60的扇形，则该几何体的侧面积为（）A12+B6+C12+2D6+4【考点】由三视图求面积、体积【分析】由俯视图为扇形及正视及侧视图为矩形知，该几何体由圆柱切割而成，故分矩形及曲面求侧面积【解答】解：该几何体的侧面积由矩形的面积及曲
13、面面积构成，其中矩形的面积为232=12，曲面的面积为23=2，故其侧面积S=12+2，故选C10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是BC1、CD1的中点，则下列说法错误的是（）AMNABBMNACCMNCC1DMN平面ABCD【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】先利用三角形中位线定理证明MNBD，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN与CC1垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN与AC垂直，即可得出结论【解答】解：如图：连接C1D，BD，A1B1与BD异面，MNBD，MN与A1B1不可能平行，A错误ACBD，MNBD，MN与AC垂直，B正确；CC1平面ABCD，CC
14、1BD，MN与CC1垂直，故C正确；在三角形C1DB中，MNBD，故MN平面ABCD，D正确故选：A11函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=10，当x=时，y=cos+sin=0由此可排除选项A和选项C故正确的选项为D故选：D12设函数f（x）=ax+sinx+cosx若函数f（x）的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在点A、B处的切线
15、互相垂直，则实数a的取值范围为（）ABCD1，1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，设出A，B的坐标，代入导函数，由函数在A，B处的导数等于0列式，换元后得到关于a的一元二次方程，结合线性规划知识求得a的取值范围【解答】解：由f（x）=ax+sinx+cosx，得f（x）=a+cosxsinx，设A（x1，y1），B（x2，y2），则f（x1）=a+cosx1sinx1，f（x2）=a+cosx2sinx2由曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，得a2+（cosx1sinx1）+（cosx2sinx2）a+（cosx1sinx1）（cosx2sinx2）+1
16、=0令m=cosx1sinx1，n=cosx2sinx2，则m，n，a2+（m+n）a+mn+1=0=（m+n）24mn4=（mn）24，0（mn）244当mn=时，m+n=0，又a=1a1函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为1，1故选D二、填空题（每小题5分，共20分）13已知等差数列an中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是15【考点】等差数列的通项公式【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值【解答】解：设公差等于d，由a7
17、+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8再由a4=1=a1+3d，可得 a1=，d=故 a12 =a1+11d=+=15，故答案为 1514设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为y=x【考点】抛物线的简单性质；直线的一般式方程【分析】设出A，B的坐标，代入抛物线方程，两式相减，整理求得直线l的斜率，进而利用点斜式求得直线的方程【解答】解：抛物线的方程为y2=4x，A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2，两式相减得，y12y22=4（x1x2），直线l的方程为y2=x2，即y=x故
18、答案为：y=x15已知： =（3，1），=（0，5），且，则点C的坐标为【考点】平面向量的坐标运算【分析】设C（x，y），则=（x+3，y1），=（x，y5），=（3，4），由，利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：设C（x，y），则=（x+3，y1），=（x，y5），=（3，4），5（x+3）=0， =3x+4（y5）=0，解得x=3，y=则点C的坐标：故答案为：16已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为（x+3）2+y2=4【考点】圆的标准方程【分析】根据题意设圆心C坐标为（x，0），根据圆C过（1
19、，0），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线l的距离d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆C的标准方程即可【解答】解：设圆心C（x，0），则圆的半径r=|BC|=|x+1|圆心C到直线l的距离|CD|=，弦长|AB|=2，则r=|x+1|，整理得：x=1（不合题意，舍去）或x=3，圆心C（3，0），半径为2，则圆C方程为（x+3）2+y2=4故答案为：（x+3）2+y2=4三、解答题：本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17已知曲线C1的参数方程为（其中为参数），
20、以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cossin+1=0（1）分别写出曲线C1与曲线C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求线段AB的长【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）曲线C1的参数方程为（其中为参数），利用平方关系消去参数可得曲线C1的普通方程曲线C2的极坐标方程为cossin+1=0，利用互化公式可得直角坐标方程（2）直线方程与椭圆联立可得7x2+8x8=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可得出【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（其中为参数），消去参数可得：曲线曲线C2的极坐标方程为c
21、ossin+1=0，可得直角坐标方程：曲线C2：xy+1=0（2）联立，得7x2+8x8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，于是故线段AB的长为18如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是矩形，BC=PC，E是PA的中点（1）求证：平面PBM平面CDE；（2）已知点M是AD的中点，点N是AC上一点，且平面PDN平面BEM若BC=2AB=4，求点N到平面CDE的距离【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定【分析】（1）取PB的中点为F，连接CF和EF，证明DCPB，CFPB，即可证明平面PBM平面CDE；（2）利用VNDCE=VEDCN，能求出点N到平
22、面CDE的距离【解答】证明：（1）取PB的中点为F，连接CF和EF，E是PA的中点，EFABDC，平面CDE与平面CDEF为同一平面，PC底面ABCD，底面ABCD是矩形，DCPC，DCBC，即DC平面PBC，DCPBBC=PC，CFPB，CDCF=C，PB平面CDEPB平面PBM，平面PBM平面CDE（2）解：过D作DGBM交BC于G，连接PG，M是AD的中点，EMPD，PDDG=D，平面PDG平面BEM，当N是AC与DG的交点时，平面PDN平面BEM，在矩形ABCD中，由已知得=，BC=2AB=4，SDCN=，SDCN=2，E到平面ABCD的距离为2，设点N到平面CDE的距离为d，由VND
23、CE=VEDCN得=，解得d=192016年5月20日，针对部分“二线城市”房价上涨过快，媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措施（简称“国五条”）为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：月收入（百元）赞成人数15，25）825，35）735，45）1045，55）655，65）265，75）2（）试根据频率分布直方图估计这60人的中位数和平均月收入；（）若从月收入（单位：百元）在65，75）的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，求被选取的2人都不赞成
24、的概率【考点】频率分布直方图【分析】（）根据中位数的两边频率相等，列出方程即可求出中位数；利用频率分布直方图中各小矩形的底边中点坐标对应的频率，再求和，即得平均数；（）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值【解答】解：（）设中位数为x，由直方图知：100.015+100.015+（x35）0.025=0.5，解得x=43；平均数为=（200.015+300.015+400.025+500.02+600.015+700.01）10=43.5；这60人的平均月收入约为43.5百元；（）月收入为（单位：百元）在65，75）的人数为：60100.01=6人，由表格赞成人数2人，则不赞成的4人为：记
25、不赞成的人为：a，b，c，d；赞成人数为：A，B则从这6人中随机地选取2人一共有15种结果如下：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB；其中被选取的2人都不赞成的结果有6种结果如下：ab，ac，ad，bc，bd，cd；记事件A：“被选取的2人都不赞成”，则：P（A）=；故被选取的2人都不赞成的概率为20已知椭圆C： +=1（ab0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+（yb）2=a2相切（1）求椭圆C的方程；（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1l2，求证：直线M
26、N过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下求AMN面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）根据椭圆C： +=1（ab0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+（yb）2=a2相切，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（2）由得（m2+4）y24my=0，求出M的坐标，同理可得N的坐标，分类讨论，即可证明结论；（3）求出三角形的面积，变形，利用基本不等式求AMN面积的最大值【解答】解：（1）由题意即（2）A（2，0）设l1：x=my2，由得（m2+4）y24my=0同理i） m1时， 过定点ii） m=1时过点lMN过定点（3）由（2）
27、知=令时取等号，时去等号，21如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线lx轴，点M为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P（1）求椭圆C的方程（2）求证：APOM（3）试问： 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由【考点】双曲线的简单性质【分析】（1）根据离心率和点在椭圆上，列方程解得即可，（2）设直线BM的斜率为k，直线BM的方程为：y=k（x4），设P（x1，y1），与椭圆方程联立可得（2k2+1）x216k2x+32k216=0，解得x1，x2可得P坐标，由y=k（x4），解得M（4，4k）
28、，只要证明APOM=0，即可得出（3）利用数量积运算即可得出是否为定值【解答】解：（1）椭圆的离心率为，且经过点，e2=1=， +=1，解得a2=16，b2=8，（2）由（1）知，A（4，0），B（4，0），直线BM斜率显然存在，设BM方程为y=k（x4），则M（4，8k），设P（x1，y2），由，得（2k2+1）x216k2x+32k216=0，0，解得x1=，x2=4，y1=，P（，），=（，），=（4，8k），=（4）+（8k）=0，APOM（3）=（，），=（4）+（8k）=1622已知函数f（x）=在x=1处取得极值（1）求a的值，并讨论函数f（x）的单调性；（2）当x1，+）时，f
29、（x）恒成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为m，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可【解答】解：（1）由题意得f（x）=，所以f（1）=1a=0即a=1，f（x）=，令f（x）0，可得0x1，令f（x）0，可得x1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减（2）由题意要使x1，+）时，f（x）恒成立，即m，记h（x）=，则mh（x）min，h（x）=，又令g（x）=xlnx，则g（x）=1，又x1，所以g（x）=10，所以g（x）在1，+）上单调递增，即g（x）g（1）=10，h（x）=0，即h（x）在1，+）上单调递增，所以h（x）min=h（1）=2，m22017年2月19日
