1、第7课时直线与平面、平面与平面垂直的性质1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理证明一些空间位置关系的简单问题.重点:(1)线面垂直的性质与面面垂直的性质;(2)“线面垂直的性质”与“线面垂直的判定”的比较,“面面垂直的性质”与“面面垂直的判定”的比较;(3)要注意从“线面垂直”向“面面垂直”的发展过程.难点:性质定理的探求及证明.装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗,测量门窗是否安装得竖直,这是应用了什么原理?装修工人判断的依据是什么?问题1:(1)上述情境中,装修工人应用了
2、直线与平面垂直的性质定理,因为铅垂线受重力影响始终是与地面垂直的,当装修工人把铅垂线与门的边线靠近时,观察上下铅垂线与门线间的间隔是否一致,当线上间隔不同时,说明门线与铅垂线不平行,也就说明门安装得不竖直.(2)直线与平面垂直的性质定理及表示:垂直于同一个平面的两条直线平行.符号表示: a,bab.问题2:叙述平面与平面垂直的性质定理,并根据图形用符号语言写出这个定理.性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.符号表示:,=l, AB,且ABl于BAB.问题3:空间中垂直关系是如何转化的?由线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理可知,线线垂直、线面垂直及
3、面面垂直的转化关系可用下图表示:由上图可以看出,几种垂直关系的转化就是线面和面面垂直的判定定理和性质定理的反复交替运用的结果.在线线垂直和线面垂直的转化中,平面在其中起到了至关重要的作用,应考虑线和线所在平面的特征,以找出需要证明的转化.如证线线垂直,可先证线面垂直,进而由性质定理得到线线垂直.因此,线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽.问题4:关于线面垂直、面面垂直,还有其他重要结论吗?直线和平面垂直的两个重要结论:过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.平面和平面垂直的两个重要结论:若两个平面垂直,则过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在第一个平
4、面内.两个相交平面同时垂直第三个平面,则它们的交线垂直于第三个平面.建筑是以视觉要素为主来进行的空间造型设计,建筑的造型是建筑审美活动的基本前提,通过点、线、面对建筑空间造型的塑造以及视觉元素对建筑心理思想观念的把握是建筑师生涯中最重要的探索.而点、线、面带给人的心理感受不同,设计表现的思想和情感也是不同的,建筑师在充分把握了平面构成要素的视觉心理特征后,创造了丰富的空间观念.1.已知a、b为异面直线,b与c垂直,则().A.acB.bcC.b与c相交D.不确定【解析】因为b与c垂直,故b与c可能相交,也可能异面,于是,a与c的关系不确定.【答案】D2.下列说法中正确的个数为().如果一条直线
5、垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直;过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直;一条直线和一个平面不垂直,那么这条直线和平面内的所有直线都不垂直;垂直于同一平面的两条直线平行.A.1B.2C.3D.4【解析】错误,无数条直线可能是平行直线,不能判断直线和平面垂直;正确;错误,与该直线在平面内的正投影垂直的所有直线,都与该直线垂直;正确.【答案】B3.已知l,m是直线,是平面,给出下列说法:若,且,则;若=l,且l,则且;若l,则l.其中正确的是.【解析】错误,反例是墙角处三个平面两两垂直.正确,因为如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.错误,还可能l.【
6、答案】4.如图,四边形ABCD是平行四边形,直线SC平面ABCD,E是SA的中点,求证:平面EDB平面ABCD.【解析】 连接AC交BD于点O,连接EO,因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,且E是SA的中点,所以EOSC.因为SC平面ABCD,所以EO平面ABCD,且EO平面EDB,所以平面EDB平面ABCD.线面垂直的性质定理的应用如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1中,EF与异面直线AC、A1D都垂直相交,求证:EFBD1.【方法指导】由于本题的垂直条件较多,且易证B D1平面A B1C,故只要再证EF平面A B1C即可,根据线面垂直的性质定理判定EFBD1.【解析】连
7、接AB1,B1C,BD,DD1平面ABCD,AC平面ABCD,DD1AC.又ACBD,AC平面BDD1B1,ACBD1.同理BD1B1C,BD1平面AB1C.EFA1D,且A1D B1C,EFB1C.又EFAC,EF平面AB1C,EFBD1.【小结】当题目所给的条件垂直关系较多,但又需要证明平行关系时,往往要考虑垂直的性质定理,从而完成由垂直关系向平行关系的转化.线面垂线的判定与性质的综合应用如图,已知=AB,EC平面,C为垂足,ED平面,D为垂足.求证:CDAB.【方法指导】易得AB平面CDE,由线面垂直可得线线垂直.【解析】EC,AB,ECAB,同理EDAB,即ABEC,ABED,又ECE
8、D=E,AB面ECD,而CD面ECD,ABCD.【小结】本题是线线垂直、线面垂直的循环.证明线线垂直、则要先证明线面垂直,关键就是面的选择,选择过哪条直线的平面与另一条直线垂直.面面垂直的性质定理的应用如图所示,ABC为正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA=2BD=4,M是AE的中点.求证:平面BDM平面ECA.【方法指导】证明面面垂直的关键是在一个平面内确定另一个平面的垂线.【解析】(1)取AC的中点F,连接MF、BF,则MFCE且MF=CE.又BDCE,BD=CE,MFBD,MF=BD,四边形MFBD是平行四边形,DMBF.EC平面ABC,EC平面ACE,平面ACE平面ABC.
9、又BFAC,BF平面ACE.又DMBF,DM平面ACE.又DM平面BDM,平面BDM平面ECA.【小结】证明面面垂直的关键点和难点,就是在一个平面内确定另一个平面的垂线,一旦找错垂线,将给问题的解决带来很大麻烦,也是不可证明的.确定这条垂线的基本方法就是根据平面与平面垂直的性质,要着眼于平面内交线的垂线,若图形中没有现成的垂线,需要根据条件作出交线的垂线,再证明此直线垂直于另一个平面.已知a、b为异面直线,AB与a、b都垂直相交,若a,b,且=c.求证:ABc.【解析】如图,过点B作BB1,则BB1a,ABBB1.又ABb,AB垂直于由b和BB1确定的平面.b,bc,同理,BB1c,c也垂直于
10、由b和BB1确定的平面,ABc.已知底面为正方形的四棱锥PABCD的侧棱PA底面ABCD,过点A在侧面PAB内作AEPB于E,过E作EFPC于F.那么图中AF与PC的位置关系如何?【解析】FPC,AF与PC相交,只要进一步考察是否垂直.如果有AFPC,由已知EFPC,EFAF=F,得PC面AEF,PCAE.又已知AEPB,PCPB=P,得AE面PBC,AEBC.而由PABC,ABBC,知BC面PAB,可知BCAE成立.AFPC成立.于是,图中AF与PC垂直相交.如图,在ABC中,BAC=60,线段AD平面ABC,E为CD上一点,且平面ABE平面DBC.求证:点A在平面DBC内的射影不可能是BC
11、D的垂心.【解析】过点A作AHBE,H为垂足.平面ABE平面DBC,AH平面ABE,平面ABE平面DBC=BE,AH平面DBC,点H即为点A在平面DBC内的射影.假设H是BCD的垂心,则BECD.AH平面BCD,DC平面DBC,AHDC.又AHBE=H,CD平面ABE.又AB平面ABE,CDAB.AD平面ABC,AB平面ABC,ADAB,又ADCD=D,AB平面ACD,ABAC,这与已知中BAC=60相矛盾,假设不成立,点A在平面DBC内的射影不可能是BCD的垂心.1.设a,b是两条异面直线,下列说法中正确的是().A.有一平面与a,b都垂直B.有且仅有一条直线与a,b都垂直C.过直线a有且仅
12、有一平面与b平行D.过空间中任一点必可以作一直线与a,b都相交【解析】A中若有一平面与a,b都垂直,则ab,矛盾;B中将a,b平移到一个平面内,则与该平面垂直的直线与a,b都垂直;C正确;D中设过直线a且与b平行的平面为,则在平面内过直线a之外的点,不可能作一直线与a,b都相交.【答案】C2.已知直线l平面:若直线ml,则m;若m,则ml;若m,则ml;若ml,则m,上述判断正确的是().A.B.C.D.【解析】 错,还有可能m;正确;正确;正确.【答案】B3.把RtABC斜边上的高CD折成直二面角A-CD-B后,互相垂直的面有对.【解析】平面BCD平面ACD,平面ADB平面BCD,平面ABD
13、平面ADC.【答案】34.三棱锥PABC中,PB=PC,AB=AC,点D为BC中点,AHPD于点H,连接BH,求证:平面ABH平面PBC.【解析】PB=PC,AB=AC,BD=DC,BCPD且BCAD,BC面PAD,面PAD面PBC.AHPD,面PAD面PBC=PD,AH面PBC.又AH面ABH,于是面AHB面PBC.(2013年天津卷改编)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.证明:B1C1CE.【解析】因为侧棱CC1底面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,所以CC1B1C1.经计算可得B1E=,B1C1=,EC1=,从而B1E2=B1+E,所以在B1EC1中,B1C1C1E,又CC1,C1E平面CC1E,CC1C1E=C1,所以B1C1平面CC1E,又CE平面CC1E,故B1C1CE.
