1、第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课时作业10生活中的优化问题举例知识点一 面积、容积最大(小)问题1.把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为()A2B4 C6D8答案D解析设其中一段长为x，则另一段长为16x，则两个正方形面积之和为S(x)22(0x16)，则S(x)22(x8)令S(x)0，得x8.当0x8时，S(x)0；当8x0.x8是函数S(x)的极小值点，也是最小值点当x8时，S(x)取最小值，S(x)最小S(8)8，即两个正方形面积之和的最小值是8，故选D.知识点二 材料最省问题2.圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料
2、最省，它的高与底面半径之比为()A21B12C14D41答案A解析设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，则Vr2h，即h.由题意，知当表面积S最小时所用材料最省S2r22rh2r22r2r2.令S4r0，得r，当r时，h，则hr21时，所用材料最省知识点三 利润最大问题3.某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大答案115解析利润为S(x)(x30)(200x)x2230x6000，S(x)2x230，由S(x)0，得x115，这时利润达到最大即每件商品的定价为115元时，利润最大4某个体户计划经销A，B两种商品，据调
3、查统计，当投资额为x(x0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)a(x1)2，g(x)6ln (xb)(a0，b0)已知投资额为零时收益为零(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润解(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)a20，g(0)6ln b0，解得a2，b1.(2)由(1)可得f(x)2x，g(x)6ln (x1)设投入经销B商品的资金为x万元(0x5)，则投入经销A商品的资金为(5x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)2(5x)6ln (x1)6l
4、n (x1)2x10(0x5)S(x)2，令S(x)0，得x2.当0x0，函数S(x)单调递增；当2x5时，S(x)0)，S2x，令S0，则x8.当0x8时S8时S0，故x8时S最小2某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A0.0162B0.0324 C0.0243D0.0486答案B解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x(0,0.0486)所以
5、银行的收益是y0.0486kx2kx3(0x0.0486)，则y0.0972kx3kx2(0x0.0486)令y0，得x0.0324或x0(舍去)当0x0；当0.0324x0.0486时，y400时，P0恒成立，易知当x300时，总利润最大4用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6 cmB8 cm C10 cmD12 cm答案B解析设四角截去的小正方形边长为x cm，则V(482x)2x4x3448x2482x(0x24)，V12x2848x48212(x2
6、84x484)12(x24)(x8)当0x8时，V0；当8x24时，V0，V在x8处取最大值，故选B.二、填空题5一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为_答案20 km/h解析设轮船的速度为x km/h时，燃料费用为Q元，则Qkx3(k0)因为6k103，所以k，所以Qx3.所以行驶每千米的费用总和为yx2(x0)所以yx.令y0，解得x20.因为当x(0,20)时，y0，此时函数单调递减；当x(20，)时，y0，此时函数单调递增，所以当x20时，y
7、取得最小值，即此轮船以20 km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小6要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长和宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为_答案300 m3解析设仓库的容积为V m3，长为x m，则宽为(20x) m，Vx(20x)33x260x(0x20)，V6x60，令V0，得x10.当0x0；当x10时，V0)设总利润为y万元，则yx1200x3500x31200.求导数得，yx2.令y0，得x25.当0x0；当x25时，y0.因此当x25时，函数y取得极大值，也是最大值三、解答题9某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，
8、且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0x30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解(1)若商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件，由题意知24k22，得k6.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)(30x9)(4326x2)(21x)(4326x2)，所以f(x)6x3126x2432x9072，x0,30(2)根据(1)有f(x)18x2252x43218(x2)(x12)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：故x12时，f(x)取
9、得极大值，因为f(0)9072，f(12)11664，f(0)f(12)，所以定价为301218(元)能使一个星期的商品销售利润最大10某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油量为多少升？解(1)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了2.5(时)，2.517.5(升)答：当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升(2)当汽车的速度为x千米/时，汽车从甲地到乙地行驶了时，设耗油量为h(x)升依题意，得h(x)x2(0x120)，h(x)(0x120)，令h(x)0，得x80.当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数故当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少耗油量为11.25升