1、第6讲 解三角形及三角形中的三角函数1考题展望在高考试题中，有关解三角形的问题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同时与三角函数综合考查三角恒等变形的能力，题型以化简，求值或判断三角形形状为主，有时也考查有关解三角形的实际应用问题有关解三角形的命题以选择题，填空题，解答题的形式都有可能出现，一般为容易题和中档题2高考真题考题 1(2015 湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.【解析】100 6 先利用正弦定理求出 BC
2、，再在 RtBCD 中求 CD.由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得600sin 45BCsin 30，解得 BC300 2 m.在 RtBCD 中，CDBCtan 30300 2 33 100 6(m)【命题立意】本题主要考查方位角、仰角的概念及正弦定理，考查空间想象能力及应用意识试题难度：中考题 2(2015 全国)在平面四边形 ABCD 中，ABC75，BC2，则 AB 的取值范围是_【解析】(6 2，6 2)画出四边形 ABCD，延长 CD，BA，探求出 AB 的取值范围 如图所示，延长 BA 与 CD 相交于点 E
3、，过点 C 作 CFAD 交 AB 于点 F，则 BFABBE.在等腰三角形 CFB 中，FCB30，CFBC2，BF 2222222cos 306 2.在等腰三角形 ECB 中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BEsin 752sin 30，BE212 6 24 6 2.6 2AB 6 2.【命题立意】本题主要考查余弦定理及正弦定理，考查学生数形结合的思想与转化化归的思想、运算求解的能力，试题难度：难考题 3(2015 全国)ABC 中，D 是 BC 上的点，AD平分BAC，ABD 面积是ADC 面积的 2 倍(1)求 sin Bsin C；(2)若 AD1，DC 22，求 BD
4、和 AC 的长【解析】(1)SABD12ABADsinBAD，SADC12ACADsinCAD.因为 SABD2SADC，BADCAD，所以 AB2AC.由正弦定理，得sin Bsin CACAB12.(2)因为 SABDSADCBDDC，所以 BD 2.在ABD 和ADC 中，由余弦定理，知 AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故 AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)，知 AB2AC，所以 AC1.【命题立意】本题主要考查正、余弦定理，三角形的面积公式，考查运算求解能力、转化化归的思想1解三角形的常考点(1)正弦定理：asin A
5、bsin Bcsin C2R.三种变化a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R；abcsin Asin Bsin C.(2)余弦定理：a2b2c22bccos A；b2a2c22accos B；c2a2b22abcos C.变式cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.(3)三角形面积公式：S12aha(ha 表示 a 边上的高)，S12absin C12bcsin A12acsin Babc4R(R 为外接圆半径)(4)三角形中的边角关系内角和定理：ABC；sin(AB)s
6、in C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；边角不等关系：AB ab sin Asin B，AB ab sin A0，所以 cos B 22，又 B(0，)，所以 B4.(2)因为|BA BC|6，所以|CA|6，即 b 6，根据余弦定理及基本不等式得 6a2c2 2ac2ac 2ac(2 2)ac(当且仅当 ac 时取等号)，即 ac3(2 2)故ABC 的面积 S12acsin B3（21）2.【点评】正弦定理是一个连比等式，在使用这个定理时不一定要知道其中的三个量才能求第四个量，只要知道了其中的比值或等量关系就可以
7、通过约分达到解决问题的目的正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系正弦定理可以使各边的比值之间相互转化，余弦定理只要知道了三角形三边之间的比例关系即可求出其中的内角2三角形中的三角函数问题例3(1)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为 S，且 2S(ab)2c2，则 tan C 等于()A.34B.43C43D34【解析】选 C.根据题意在ABC 中，2Sa2b2c22ab，根据三角形中的余弦定理 cos Ca2b2c22ab代入上式，得：2S2abcos C2ab，再利用三角形的面积公式
8、S12absin C，所以 212absin C2abcos C2ab 化简为：sin C2cos C2，两边平方得：sin2C4cos2C4sin Ccos C4，即：sin2C4cos2C4sin Ccos Csin2Ccos2C 4，分子 分母 同除 以cos2C 得到：tan2C44tan Ctan2C14 进而解得：tan C43或 tan C0(舍去)，所以答案为 C.(2)在ABC 中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，则ABC 的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【解析】选 D.由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2
9、)sin C，得 b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)从而 b2sin Acos Ba2cos Asin B 即 sin2Bsin Acos Bsin2Acos Asin B，所以 sin 2Bsin 2A.而 0A，0B，得 02A2，02B2，故 2A2B 或 2A2B.即 AB 或 AB2.【点评】分析求解与三角形有关的三角函数问题时，一方面应充分注意三角形三内角之间的相互关系和取值范围，并利用三内角和为 180进行角之间的相互转换，另一方面应充分利用正弦定理和余弦定理进行“边与角”的互化例4如图，正三角形 ABC 的边长为2，D，E，F 分别在三边 AB，BC 和C
10、A 上，且 D 为 AB 的中点，EDF90，BDE，(0 0，所以 A0，4.于是 sin Asin Csin Asin2 2A sin Acos 2A2sin2Asin A1 2sin A14298.因为 0A4，所以 0sin A 22，因此 22 2sin A1429898.由此可知 sin Asin C 的取值范围是22，98.【点评】本题考查三角形内角和定理、正弦定理及二次函数、三角函数的性质，考查转化化归的思想和函数的思想，在整个求解过程中考查了数据处理能力和运算求解能力备选题例6设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acos C12cb.(1)求角 A
11、的大小；(2)若 a1，求ABC 的周长的取值范围【解析】(1)由 acos C12cb 得 sin Acos C12sin Csin B，又 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，12sin Ccos Asin C，sin C0，cos A12，又0A，A23.(2)由正弦定理得：basin Bsin A 23sin B，c 23sin C，abc1 23(sin Bsin C)1 23(sin Bsin(AB)1 2312sin B 32 cos B 1 23sinB3.A23，B0，3，B3 3，23，sinB3 32，1.故ABC 的周长的取值范围为2，2
12、33 1.【点评】本例系三角形中的三角函数问题，第(1)问关键是利用正弦定理进行“边角转化”获得三角形关系式后求解，第(2)问关键是先利用三内角的关系将问题转化为关于角 B(或 A)的函数表达式后，再由题设条件探究角 B(或 A)的取值范围，问题方可求解1正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判断三角形形状的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系，一般地，利用公式 a2RsinA，b2Rsin B，c2Rsin C(R 为ABC 外接圆半径)可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行简化，其中往往用到三角形内角和定理 ABC，利用公式 cos Ab2c2a22bc，
13、cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边2三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如 a2Rsin A，a2b2c22abcos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如 sin Asin BAB；sin(AB)0AB；sin 2Asin 2BAB 或 AB2 等(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如 sin A a2R，cos Ab2c2a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断3在解实际问题时，应正确理解如下
14、角的含义(1)方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(2)方位角从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角(3)坡度坡面与水平面的锐二面角的正切(4)仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角1若ABC 的三角 ABC123，则 A，B，C 分别所对边的比值 abc()A123 B1 2 3C1 32 D12 3【解析】选 C.由 ABC123 及 ABC得 A30，B60，C90，再由正弦定理asin A bsin Bcsin C得 abc1 32.2在ABC 中内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若
15、 b2ccos A，c2bcos A，则ABC 的形状为()A直角三角形B锐角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【解析】选 C.由 b2ccos A，c2bcos A 推得 b4bcos2Acos A12.bc 且 A60，所以该三角形为正三角形 另法：也可利用余弦定理，推出 abc.3在ABC 中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则 A 的取值范围是()A.0，6B.6，C.0，3D.3，【解析】选 C.在ABC 中，由正弦定理可得 sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R(其中 R 为ABC 外接圆的半径)，由 sin2Asin2Bsin2Csin B
16、sin C 可得 a2b2c2bc，即 b2c2a2bc，cos Ab2c2a22bc12，0c.已知BA BC 2，cos B13，b3.求：(1)a 和 c 的值；(2)cos(BC)的值【解析】(1)由BA BC 2 得 cacos B2，又 cos B13，所以 ac6.由余弦定理得 a2c2b22accos B，又 b3，所以 a2c292213.解ac6，a2c213，得a2，c3或a3，c2.因为 ac，所以 a3，c2.(2)在ABC 中，sin B1cos2B11322 23.由正弦定理得 sin Ccbsin B232 23 4 29.因为 abc，所以 C 为锐角，因此
17、cos C 1sin2C14 29279.所以 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C13792 23 4 29 2327.9如图，在平面四边形 ABCD 中，DAAB，DE1，EC 7，EA2，ADC23，BEC3.(1)求 sinCED 的值；(2)求 BE 的长【解析】(1)在CDE 中，由余弦定理可得 EC2CD2DE22CDDEcosEDC，于是由题设可知 7CD21CD，即 CD2CD60，解得 CD2(CD30 舍去)，令CED.在CDE 中，由正弦定理可得CEsinEDC CDsin sinCDsin23EC2 327 217，即 sinCED 217.(2)由题设可得 00.故知：|AC|b5k，|BC|a4k.依题设知：|AC|2|BC|22|AC|BC|cos C4646k246，又 k0k1.故ABC 的三条边长依次为：a4，b5，c6.若设 BC 的中点为 D，由余弦定理得：AD26222262cos B40262 916532.故 BC 边上的中线长为：1062.
