1、目标导航(1)通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，了解算法的含义及其基本特征；(2)通过分析具体问题，抽象出算法的过程，培养抽象概括能力、语言表达能力和逻辑思维能力；(3)通过算法的学习，进一步让学生体验到数学与现实世界的关系、数学与计算机技术的关系、提高学生学习数学的兴趣1说基础名师导读 知识点 1算法的概念算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决一般来说，“用算法解决问题”都是可以利用计算机帮助完成的.知识点 2算法的基本思想在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问
2、题的算法这种解决问题的思想方法称为算法的基本思想.知识点 3算法的特征1.确定性：算法的每一步必须是确切定义的，且无二义性，算法只有唯一的一条执行路径，对于相同的输入只能得出相同的输出2有穷性：一个算法必须在执行有穷次运算后结束在所规定的时间和空间内，若不能获得正确结果，其算法也是不能被采用的3可行性：算法中的每一个步骤必须能用实现算法的工具可执行指令精确表达，并在有限步骤内完成，否则这种算法也是不会被采纳的4输入：算法一定要根据输入的初始数据或给定的初值才能正确执行它的每一步骤5输出：算法一定能得到问题的解，有一个或多个结果输出，达到求解问题的目的，没有输出结果的算法是没有意义的此外，还要求
3、算法应具有通用性：算法应适用于某一类问题中的所有个体，而不是只能用来解决一个具体问题释疑点 算法与解法的区别算法与一般意义上具体问题的解法既有联系又有区别，它们之间是一般与特殊、抽象与具体的关系算法的获得要借助于一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，这些步骤称为解决这些问题的算法这种用步骤呈现解决问题过程的思想方法称为算法的思想.2 说方法分类探究 类型一算法概念的理解【例 1】有下列说法：从济宁到乌鲁木齐旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数
4、化为 1；方程 x210 有两个实根；求 1234 的值，先计算 123，再由 336,6410得最终结果是 10.其中，算法的个数为()A1 B2 C3 D4思维启迪：结合算法的概念和特征逐一验证得出结论解析：中说明了从济宁到乌鲁木齐的行程安排，完成任务；中给出了一元一次方程这一类问题的解决方法；中给出了求 1234 的一个过程，最终得出结果；对于这个问题，并没有说明如何去算故是算法，不是算法答案：C 点评 1.本题中的说法涉及生活中的方法和数学中的解题过程，均体现了算法的特点，即符合“一系列步骤”2.判断一个说法是否是算法，关键是看它有无步骤，且每步是否是明确、有效，能否在有限步之内完成.
5、变式训练 1 对算法的理解不正确的是()A一个算法包含的步骤是有限的B一个算法中每一步都是明确可操作的，而不是模棱两可的C算法在执行后，结果应是明确的D一个问题只可以有一个算法解析：由算法的不唯一性可知 D 错答案：D类型二求正约数的算法设计【例 2】求 18 的所有正约数，请设计两种算法思维启迪：分别对 1,2,3，18 逐一检验或者对 18 进行因数分解，写出相关步骤即可解析：方法一11 是 18 的正约数，将 1 列出；22 是 18 的正约数，将 2 列出；33 是 18 的正约数，将 3 列出；44 不是 18 的正约数，将 4 删除；1818 是 18 的正约数，将 18 列出方法
6、二11829；218232；3列出 18 的所有正约数，1,2,3,32，23，232.点评 1.解决一个问题可以有多个算法，可以选择其中最优的，最简单的步骤的算法2.本例两种算法都符合题意，但法二运用了因数分解原理，这样步骤就比法一少了许多，因此更为科学本题体现了算法的特征：(1)一个算法往往具有代表性，能够解决一类问题；(2)算法不是唯一的；(3)两个算法里面各自体现了不同的思想内涵变式训练 2 设计一个算法，求出 8401 764 的最大公约数解析：算法步骤如下：1将 840 进行质因数分解得 84023357；2将 1 764 进行质因数分解得 1 764223272；3确定它们的公共
7、质因数：2,3,7；4确定公共质因数 2,3,7 的指数分别为：2,1,1；5最大公约数为 22317184.类型三解方程(组)问题的算法设计【例 3】写出解方程 x24x50 的一个算法思维启迪：本题是求一元二次方程的解的问题，方法很多，只要把平时的固有解法有条理、清晰地写出来，即为解该方程的算法下面分别用因式分解法、配方法和求根公式法写出这个问题的三个算法解析：算法 1：1将方程左边因式分解，得(x5)(x1)0；2由，得 x50 或 x10；3由，可得 x5 或 x1.算法 2：1移项，得 x24x5；2式两边同时加 4 并配方，得(x2)29；3式两边开平方，得 x23；4解式，得 x
8、5 或 x1.算法 3：1计算方程的根的判别式，并判断其符号：(4)241(5)350；2将 a1，b4，c5 代入求根公式 xb b24ac2a，得 x15，x21.点评 1.本题体现了算法的不唯一性2.比较以上三个算法，可以看出算法 3 最简单，步骤最少，并且具有通用性因此我们在设计算法时，首先考虑是否有公式可以利用利用公式解决问题是最理想的方法，有时要综合各方面的因素选择一种比较好的算法变式训练 3 写出解方程组2x3y8 xy1 的一个算法解析：算法 1：1将方程的两边同时乘以 3，得 3x3y3；2将方程和的两边分别相加，方程左、右两边再同时除以 5，得 x1；3将 x1 代入，方程
9、两边再同时加1，得 y2；4输出结果x1，y2.算法 2：1将方程中的 y 移项，用 y 的式子表示 x 得 x1y；2将代入，并化简，得 y2；3将代入，得 x1；4输出结果x1，y2.类型四分步求和(积)问题的算法设计【例 4】写出求 123456 的一个算法思维启迪：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式 12nnn12进行，也可以根据加法运算律简化运算过程解析：算法 1：1计算 12 得到 3；2将第 1 步中的运算结果 3 与 3 相加得到 6；3将第 2 步中的运算结果 6 与 4 相加得到 10；4将第 3 步中的运算结果 10 与 5 相加得到 15；5将第 4 步中的运算结果 15 与 6 相加得到 21；算法 2：1取 n6；2计算nn12；3输出运算结果点评 1.对于数值型计算问题的算法，可以借助数学公式采用数学计算的方法，将过程分解成清晰的步骤，使之条理化即可2.应注意多个数进行四则运算时应分步计算，依次进行，直到算出结果变式训练 4 写出求 246810 的一个算法解析：算法步骤如下：1计算 24，得到 8；2将第一步的运算结果 8 与 6 相乘，得到 48；3将第二步的运算结果 48 与 8 相乘，得到 384；4将第三步的运算结果 384 与 10 相乘，得到 3 840.
