1、高考资源网（） 您身边的高考专家阶段质量检测（三） 空间向量与立体几何(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，连接AG，则()()ABC D.解析：选A在BCD中，因为点G是CD的中点，所以()，从而().2已知a(3,2,5)，b(1,5，1)，则a(a3b)()A(0,34,10)B(3,19,7)C44D23解析：选Ca3b(3,2,5)3(1,5，1)(0,17,2)，则a(a3b)(3,2,5)(0,17,2)0341044.3已知向量i，j，k是一组
2、单位正交向量，m8j3k，ni5j4k，则mn()A7B20C28D11解析：选C因为m(0,8,3)，n(1,5，4)，所以mn0401228.4已知二面角l的大小为，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A.BC.D.解析：选B设m，n的方向向量分别为m，n.由m，n知m，n分别是平面，的法向量|cosm，n|cos ，m，n或.但由于两异面直线所成的角的范围为，故异面直线m，n所成的角为.5已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z的值为()A1B1C2D2解析：选B由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一
3、点O，存在实数x1，y1，z1，使得x1y1z1且x1y1z11.因此2x3y4z1，故选B.6在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.A2B3C4D5解析：选C|a|b|ab|a与b共线，但a与b共线时|a|b|ab|不一定成立，故不正确；b需为非零向量，故不正确；因为2211，由共面向量定理知，不正确；由基底的定义知正确；由向量的数量积的性质知，不正确7
4、已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成角的余弦值为()A.BC.D.解析：选C建立如图所示的空间直角坐标系，设A(1,0,0)，则B(0,1,0)，D(0，1,0)，AB，SD，SO1，S(0,0,1)，E，(0，1，1)cos， ，AE与SD所成角的余弦值为.8已知(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为()A.BC.D.解析：选C设点Q(x，y，z)因为点Q在上，所以，可设x，01，则y，z2，则Q(，2)，(1，2，32)，(2，1，22)，所以62161062.故当时，取得最小值，此时
5、点Q.故选C.9.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为()解析：选A如图，以D为原点，DA，DC所在的直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系设正方形ABCD的边长为a，M(x，y,0)，则0xa,0ya，P，C(0，a,0)，则| ，| .由|，得x2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条线段yx(0xa)，故选A.10三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1ABAC1，ABAC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足：，则直线PN与平
6、面ABC所成角取最大值时的值为()A.BC.D.解析：选A如图，分别以，为单位正交基底建立空间直角坐标系，则P(，0,1)，N，.易得平面ABC的一个法向量n(0,0,1)，则直线PN与平面ABC所成的角满足：sin |cos，n|，于是问题转化为二次函数求最值，而，所以当sin 最大时，最大所以当时，sin 最大，为，同时直线PN与平面ABC所成的角取到最大值二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分把答案填在题中横线上)11已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为_，|a|_.解析：设向量ab与c的夹角为，因为ab(1，
7、2，3)，|ab|，cos ，所以60.因为向量ab与a的方向相反，所以a与c的夹角为120，|a|.答案：12012已知a(3，6，6)，b(1,3,2)为两平行平面的法向量，则_，a的同向单位向量为_解析：由题意知ab，解得2.a(6,6,8)，|a|2，a的同向单位向量为.答案：213.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，若， 为基底，则_.解析：()().答案： 14在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为_，三棱锥AA1B1D1的体积为_解析：建立如图所示的空间直角
8、坐标系则A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，A1(2,0,4)，(0,2,4)，(2,0,4)，(0,0,4)设平面AB1D1的法向量n(x，y，z)，则即令x2，得n(2，2,1)所以A1到平面AB1D1的距离为d.VAA1B1D1224.答案：15三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱长等于底面边长，A1在底面的射影是ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于_解析：如图，设A1在底面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设ABC边长为1，则A，B1，.又平面ABC的法向量n(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角
9、的正弦值为sin |cos，n|.答案：16点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则的最大值为_，最小值为_解析：由题意知内切球的半径为1，设球心为O，则()()2()|21.1|，0,4，即其最大值为4，最小值为0.答案：4017.边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足，则|的值为_解析：设BD中点为O，连接OA，OC，则OC平面ABD，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A，B，C，D，所以，(0，0)，所以(0，0)，所以|.答案：三、解答题(本大题共5小题，共74分解答应写出文字说
10、明，证明过程或演算步骤)18(本小题满分14分)已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)ac与bc夹角的余弦值解：(1)因为ab，所以，解得x2，y4，则a(2,4,1)，b(2，4，1)又bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设ac与bc夹角为，因此cos .19(本小题满分15分)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值解：(1)证
11、明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F. (0，a,0)0.，EFCD.(2)设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则即即取x1，则y2，z1，n(1，2,1)，cos，n.设DB与平面DEF所成角为，则sin .20(本小题满分15分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG4，AGGD，BGGC，GBGC2，E是BC的中点(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值；(2)若F
12、是棱PC上一点，且DFGC，求的值解：(1)以G点为原点，GB，GC，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,4)，故E(1,1,0)，(1,1,0)，(0,2，4)cos，GE与PC所成角的余弦值为.(2)，D.设F(0，y，z)，则(0，y，z).，0，即(0,2,0)2y30，y.又点F在PC上，即(0,2，4)，z1，故F，3.21(本小题满分15分)如图，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC2，M为BC的中点(1)证明：AMPM；(2)求二面角PAMD的大小；(3)求点D到平面AMP
13、的距离解：(1)证明：以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)(，1，)，(，2,0)，(，1，)(，2,0)0，即，AMPM.(2)设n(x，y，z)为平面PAM的法向量，则即取y1，得n(，1，)取p(0,0,1)，显然p为平面ABCD的一个法向量，cosn，p.结合图形可知，二面角PAMD为45.(3)设点D到平面AMP的距离为d，由(2)可知n(，1，)与平面PAM垂直，则d，即点D到平面AMP的距离为.22(本小题满分15分)如图，在四棱锥PABCD中
14、，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，ABC45，ADAP2，ABDP2，E为CD的中点，点F在线段PB上(1)求证：ADPC；(2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，连接AC，AB2，BC2，ABC45，由余弦定理得AC284222cos 454，AC2，AC2BC2AB2，BCAC.又ADBC，ADAC.ADAP2，DP2，AD2AP2DP2，APAD.又APACA，AP平面PAC，AC平面PAC，AD平面PAC.PC平面PAC，ADPC.(2)侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面A
15、BCDAD，PAAD，PA平面PAD，PA底面ABCD.以A为坐标原点，以DA，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,1,0)，P(0,0,2)，(0,2，2)，(2,0，2)，(2,2，2)设(0,1)，则(2，2，2)，F(2，2，22)，(21,21，22)，平面ABCD的一个法向量为m(0,0,1)设平面PDC的法向量为n(x，y，z)，则令x1，得n(1，1，1)直线EF与平面PDC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，|cos，m|cos，n|，即，22，解得，当时，直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等高考资源网版权所有，侵权必究！
