1、 重点难点 重点：抛物线定义、几何性质及标准方程 难点：抛物线几何性质及定义的应用 知识归纳 1抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离的点的轨迹叫做抛物线相等 2抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)误区警示 1关于抛物线定义 要注意点F不在直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线.2关于抛物线的标准方程 由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的共同点在于：(1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向.(3
2、)焦点的非零坐标是一次项系数的14.1抛物线的焦点弦 若直线l过抛物线的焦点与抛物线相交于两点A、B，则线段AB通常称作抛物线的焦点弦，焦点与抛物线上任一点的连线段，通常称作抛物线的焦半径，涉及焦半径(或焦点弦)的问题，常考虑应用定义求解 若抛物线y22px(p0)的焦点弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论：|AB|x1x2p；y1y2p2.直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点 Fp2，0 时，常设 l：xmyp2以简化运算 2关于抛物线的最值问题(1)A为抛物线弧内一定点，F为焦点，P为抛物线上任一点，求|PA|PF|的最小值问题常用定义转化，由A向抛物线的准线
3、作垂线与抛物线的交点为取到最小值的P点(2)直线l与抛物线无公共点，求抛物线上的点到l的最小值问题，一般可设出抛物线上的点，用点到直线距离公式转化为二次函数求最值，或设出与l平行且与抛物线相切的直线，转化为两平行直线间的距离，后者更简便 3抛物线的标准方程 由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方程时，一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论 4韦达定理的应用 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，以避免求交点坐标的复杂运算 例1 已知动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆圆心的轨迹方程为()Ax2y21 Bx2y21 Cy24xDx0 分析：由条件知，
4、动圆圆心C到点(1,0)和直线x1的距离相等，可用直译法求解，也可以用定义法求解应注意圆锥曲线定义在解题中的应用解析：触法一：设圆心坐标为(x，y)，由题意，x(1)x12y2，整理得 y24x，故选 C.解法二：动圆圆心 C 到定点(1,0)和定直线 x1 距离相等，C 点轨迹是以(1,0)为焦点，x1 为准线的抛物线，p2，方程为 y24x.答案：C(文)抛物线x28y上一点P到焦点的距离为5，则点P的纵坐标为()A5 B5 C3 D3 解析：抛物线的准线方程为y2，且点P到准线距离为5，yP3.答案：D(理)已知点 P 为抛物线 y22x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 M，点
5、A 的坐标是 A(72，4)，则|PA|PM|的最小值是()A.112 B4 C.92 D5解析：如图，焦点 F(12，0)，当 P、A、F 三点共线时|PA|PM|才有最小值，此时|PA|PM|PA|PF|12，即|PA|PM|的最小值为|FA|1272122421251292，故选 C.答案：C例 2 双曲线x2my2n1(mn0)离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y24x 的焦点重合，则 mn 的值为()A.316 B.38C.163 D.83分析：由双曲线的一个焦点与抛物线 y24x 焦点F(1,0)重合知，双曲线焦点在 x 轴上，从而 a2m，b2n，c2mn，eca2.且 mn1，
6、可解得 m、n 的值解析：由条件知 mnm 2mn1，解得m14n34.mn 316.故选 A.答案：A 点评：解决这类问题一定要抓准各种曲线的基本量及其关系 设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24xBy28x Cy24xDy28x解析：由已知抛物线焦点为 Fa4，0，AF 所在直线方程为 y2xa4，A0，a2，SOAF12a2 a4 a2164，a264，a8，抛物线的方程为 y28x.答案：B例 3 已知直线 l 与抛物线 y28x 交于 A，B 两点，A(8,8)且直线 l 经过抛物线的焦点
7、F，则线段 AB 的中点到准线的距离为()A.254 B.252 C.258 D25 分析：由直线l经过抛物线的焦点F及点A(8,8)可求l的方程，由l与抛物线方程联立可求得B点坐标(或依据根与系数关系，求得AB中点M的横坐标，进一步即可求得M到准线的距离)，M到准线的距离为|AB|.解析：因为抛物线的焦点为 F(2,0)，则直线 l 的方程为 y43(x2)，由y43x2y28x解得 B12，2，所以|AB|AF|BF|28212252，所以线段 AB的中点到准线的距离为254，故选 A.答案：A点评：抛物线的焦半径(焦点弦)有许多特殊性质，如(1)某点的焦半径等于这点到准线的距离，(2)抛
8、物线 y22px(p0)的焦点弦 AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p，x1x2p24.(3)AB 为抛物线的焦点弦、F 为焦点，A、B 在准线上射影为 C、D，AB 的中点在准线上射影为 N，则1|AF|1|BF|为定值；ANB90，CFD90等等，推证这些性质对提高解决抛物线问题的能力很有帮助 已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2 C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|解析：
9、将 2x2x1x3 两边同时加上 p 得，2x2p2 x1p2x3p2，P1、P2、P3 在抛物线上，2|FP2|FP1|FP3|.答案：C例 4 设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且MN 2MP，PM PF.(1)当点 P 在 y 轴上运动时，求 N 点的轨迹 C 的方程；(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线 C 上的三点，且|AF|、|BF|、|DF|成等差数列，当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于 E(3,0)时，求 B 点的坐标解析：(1)MN 2MP，故 P 为 MN 中点又PM PF，P 在 y 轴上，F 为(1,0)，故 M
10、 在 x 轴的负半轴上，设 N(x，y)，则 M(x,0)，P0，y2，(x0)，PM x，y2，PF1，y2，又PM PF，PM PFxy240，y24x(x0)是轨迹 C 的方程(2)抛物线 C 的准线方程是 x1，由抛物线定义知|AF|x11，|BF|x21，|DF|x31|AF|、|BF|、|DF|成等差数列，x11x312(x21)，x1x32x2又 y124x1，y224x2，y324x3，故 y12y32(y1y3)(y1y3)4(x1x3)，kADy1y3x1x34y1y3，AD 的中垂线为 yy1y34(x3)AD 的中点x1x32，y1y32在其中垂线上，y1y32y1y3
11、4x1x323.x2x1x321.由 y224x2.y22.B 点坐标为(1,2)或(1，2)(文)(2010全国理)已知抛物线 C：y22px(p0)的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点 A，与 C的一个交点为 B.若AM MB，则 p_.解析：如图，设 B(x0，y0)，由题意知 MK12BH，x0p221p2，x0p22.点 B(x0，y0)在抛物线 y22px 上，y0 p24p，又直线 AB 方程为 y 3(x1)，将点 B 的坐标代入得p24p3p221，p0，p2.答案：2(理)(09湖北)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线相交于M
12、、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1.(1)求证：FM1FN1；(2)记FMM1、FM1N1、FNN1的面积分别为S1、S2、S3，试判断S224S1S3是否成立，并证明你的结论 解析：(1)证法一：由抛物线的定义得|MF|MM1|，|NF|NN1|.MFM1MM1F，NFN1NN1F.如图，设准线l与x轴的交点为F1，MM1NN1FF1，F1FM1MM1F，F1FN1NN1F.而F1FM1MFM1F1FN1NFN1180，即2F1FM12F1FN1180，F1FM1F1FN190，即M1FN190，故FM1FN1.证法二：依题意，焦点为 Fp2，0，准线 l 的方程为 xp
13、2设点 M，N 的坐标分别为 M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 MN 的方程为 xmyp2，则有 M1p2，y1，N1p2，y2，FM1(p，y1)，FN1(p，y2)，由xmyp2y22px，得 y22mpyp20.于是，y1y22mp，y1y2p2.FM1 FN1 p2y1y2p2p20，故 FM1FN1.(2)S224S1S3 成立，证明如下：证法一：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由抛物线的定义得|MM1|MF|x1p2，|NN1|NF|x2p2.于是S112|MM1|F1M1|12(x1p2)|y1|，S212|M1N1|FF1|p2|y1y2|，S312|NN1|
14、F1N1|12(x2p2)|y2|.要证 S224S1S3，即证(p2|y1y2|)2412(x1p2)|y1|12(x2p2)|y2|即证14p2(y1y2)24y1y2x1x2p2(x1x2)p24|y1y2|.将x1my1p2x2my2p2与y1y22mpy1y2p2代入上式化简可得p2(m2p2p2)p2(m2p2p2)，此式恒成立故 S224S1S3 成立证法二：如图，设直线 MN 的倾角为，|MF|r1，|NF|r2，则由抛物线的定义得|MM1|MF|r1，|NN1|NF|r2.MM1NN1FF1.FMM1，FNN1.于是 S112r12sin，S312r22sin()12r22s
15、in.在FMM1 和FNN1 中，由余弦定理可得|FM1|22r122r12cos2r12(1cos)，|FN1|22r222r22cos2r22(1cos)由(1)的结论，得 S212|FM1|FN1|，S2214|FM1|2|FN1|2144r12r22(1cos)(1cos)r12r22sin24S1S3，即 S224S1S3，得证 一、选择题 1(2010北京崇文)已知点M(1,0)，直线l：x1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是()A抛物线B椭圆 C双曲线的一支D直线 答案 A 解析 P在BM的垂直平分线上，故|PB|PM|.又P
16、Bl，因而点P到直线l的距离等于P到M的距离，所以点P的轨迹是抛物线2(2010东北师大附中模拟)抛物线 y28x 的焦点到双曲线x212y241 的渐近线的距离为()A1 B.3 C.33 D.36答案 A解析 抛物线 y28x 的焦点 F(2,0)到双曲线x212y241 的渐近线 y 33 x 的距离 d1.3(文)(2010北京西城区抽检)抛物线 yax2 的准线方程为 y1，则实数 a 的值是()A.14 B.12 C14 D12 答案 A解析 将抛物线方程 yax2 化为 x21ay，由条件知14a1，a14.(理)正数 a、b 的等差中项是92、一个等比中项是 2 5，且 ab，
17、则抛物线 y2bax 的焦点坐标为()A.516，0B.25，0C.15，0D.15，0答案 D解析 正数 a、b 的等差中项是92，ab9；又正数 a、b 的一个等比中项是 2 5，ab(2 5)220；而 ab，a5，b4.抛物线方程为 y245x，其焦点坐标为15，0，选 D.4对于任意 nN*，抛物线 y(n2n)x2(2n1)x1 与 x 轴交于 An、Bn 两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|A2B2|A2011B2011|的值是()A.20102011B.20112012C.20092010D.20092008答案 B解析 设 An(xn,0)，Bn(xn,0)，
18、则 xnxn2n1n2n，xnxn1n2n，|AnBn|xnxn|xnxn24xnxn2n1n2n24n2n1n2n1nn11n 1n1，|A1B1|A2B2|AnBn|112 1213 1n 1n11 1n1 nn1，当 n2011 时，结果为20112012.点评 由条件知 An、Bn 的横坐标 x1、x2 是方程(n2n)x2(2n1)x10 的两根，x1 1n1，x21n，|x1x2|1n 1n1.1(2010黑龙江双鸭山质检)过抛物线 yax2(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AF、BF的长分别为 m、n，则 mnmn等于()A.12a B.14a C2a
19、 D.a4答案 B解析 特例法取通径 AB，则 mn 12a，故 mnmn 14a.2(2009山东)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24xBy28x Cy24xDy28x 答案 B解析 由抛物线方程知焦点 Fa4，0，直线 l 方程为 y2xa4，与 y 轴交点 A0，a2.SOAF12|OA|OF|12a2 a4 a2164.a264，a8.故 y28x.故选 B.3已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是_米解析 设抛物线拱桥的方程为 x22py，当顶点距水面 2 米时，量得水面宽 8 米，即抛物线过点(4，2)代入方程得 164pp4，则抛物线方程是 x28y，水面升高 1 米时，即 y1 时，x2 2.则水面宽为 4 2米4圆心在第一象限，且半径为 1 的圆与抛物线 y22x 的准线和双曲线x216y291 的渐近线都相切，则圆心的坐标是_解析 设圆心为(a，b)，则 a0，b0.y22x 的准线方程为 x12，x216y291 的渐近线方程为 3x4y0.由题意知 a121，则 a12，|3a4b|51，解得 b138 或 b78，圆心坐标为12，138 或12，78.
