1、 重点难点 重点：直线与圆的位置关系，圆的切线方程和弦长问题 难点：圆的综合问题的解题思路知识归纳一、直线与圆的位置关系1直线l：AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系：(1)几何方法：圆心(a，b)到直线AxByC0的距离d|AaBbC|A2B2，dr直线与圆相交相切相离(2)代数方法：由AxByC0 xa2yb2r2消元得到的一元二次方程的判别式为，则 0直线与圆；0直线与圆；0)与(xa2)2(yb2)2r22(r20)的圆心距为d，则 dr1r2两圆；dr1r2两圆；|r1r2|dr1r2两圆；d|r1r2|两圆；0d|r1r2|两圆外离外切相交内切内含 2用代数方
2、法判断两圆的位置关系 有两组不同的实数解两圆；有两组相同的实数解两圆；无实数解两圆外离或内含相交相切 3圆系方程 具有某一共同性质的所有圆的集合叫圆系，它的方程叫圆系方程(1)同心圆系：设圆C的一般方程为：x2y2DxEyF0，则与圆C同心的圆系方程为：x2y2DxEy0.(2)相交圆系：过两个已知圆x2y2D1xE1yF10和x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)方程是一个圆系方程，这些圆的圆心都在两圆的连心线上，圆系方程代表的圆不包含圆x2y2D2xE2yF20.1时，式变为一直线：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)
3、0 若两圆相交，则方程是它们的公共弦所在直线的方程；若两圆相切，则方程就是它们的公切线方程 三、空间直角坐标系 1轴的选取原则 我们所使用的坐标系都是右手直角坐标系：伸开右手，拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，则中指指向z轴正方向 从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向旋转90能与y轴的正半轴重合 伸开右手，让拇指指向z轴正方向，四指指向x轴正方向，然后将四指自然弯曲90能指向y轴的正方向 2坐标与坐标平面(1)过点P作一个平面平行于平面yOz(垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x叫做点P的横坐标；(2)过点P作一个平面平行于平面xOz(垂直于y
4、轴)，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做点P的纵坐标；(3)过点P作一个平面平行于平面xOy(垂直于z轴)，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z叫点P的竖坐标(4)每两条坐标轴分别确定的平面yOz，xOz，xOy叫做坐标平面 xOy平面上点的坐标形如(x，y,0)，yOz平面上点的坐标形如(0，y，z)，xOz平面上点的坐标形如(x,0，z)x轴上的点形如(x,0,0)，y轴上的点形如(0，y,0)，z轴上的点形如(0,0，z)；三个坐标平面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限，在坐标平面xOy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，
5、称第、卦限，在下方的称为第、卦限(5)空间直角坐标系中的点与它的坐标的有序数组之间形成了一一对应关系3空间两点间的距离公式设空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A、B两点间的距离|AB|x2x12y2y12z2z12.误区警示 1讨论直线与圆相切、相交的问题时，主要运用几何方法，即用圆心到直线的距离和半径讨论，而用判别式法计算量大，且易出错 2两个圆的方程联立后消元(如消去y)，0与两圆相切不等价 3点在圆外时，过该点的圆的切线有两条，若用点斜式求得斜率k只有一解时，应添上垂直于x轴的那一条 4建立空间直角坐标系时，要注意右手系的规则注意坐标轴上点的坐标及坐标平面内点的坐
6、标特点，莫用混 1数形结合的思想 在直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的计论中，结合图形进行分析能有效的改善优化思维过程，迅速找到解题的途径，故应加强数形结合思想的应用 2方程思想 在解析几何的许多问题中，经常要通过研究讨论方程的解的情形获得问题的解决特别是在直线与圆锥曲线相交的问题中，常采用“设而不求，整体处理”的思想方法，即设点而不求点，通过整体处理加以解决 3空间特殊点的特征(1)空间点的对称特征 关于坐标平面、坐标轴对称点的特点是：关于谁谁不变，其它变相反如点P(1,4，3)关于y轴对称点，y坐标不变，其余相反为P(1,4,3)(2)坐标轴、坐标平面上点的坐标特征：无谁谁为0.如xO
7、y平面上的点为(x，y,0)例1(2010深圳模拟)直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D不确定解析：解法一：圆心(0,1)到直线的距离d|m|m211 5，故选A.解法二：直线mxy1m0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2(y1)25的内部，所以直线l与圆C是相交的，故选A.答案：A(文)直线xsinycos1cos与圆x2(y1)24的位置关系是()A相离B相切 C相交D以上都有可能解析：圆心到直线的距离d|cos1cos|sin2cos2 12，直线与圆相交答案：C(理)(2010广东执信中学)已知点P(a，b)(ab0)是圆O：
8、x2y2r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为axbyr2，则()Amn且n与圆O相离 Bmn且n与圆O相交 Cm与n重合且n与圆O相离 Dmn且n与圆O相离解析：由点P(a，b)(ab0)是圆O：x2y2r2内一点得，a2b2|r|，即a2b2 r2|r|r|，故直线n与圆O相离答案：A例2(2010济南模拟)双曲线x26 y23 1的渐近线与圆(x3)3y2r2(r0)相切，则r()A.3B2C3 D6分析：由双曲线标准方程x2a2y2b21可求出其渐近线方程y ba x，由圆心到直线的距离dr可求出相切时的半径r.解析：由双曲线的方程可知，其中的一条渐近线方程为y
9、22 x，即：x2 y0圆的圆心坐标为(3,0)，则圆心到渐近线的距离d 3，所以圆的半径为 3.故选A.答案：A(文)(2010陕西文)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A.B1 C2 D4解析：抛物线y22px(p0)的准线方程是xp2，由题意知，3p24，p2.答案：C(理)(2010海淀期末)已知直线l：y1，定点F(0,1)，P是直线xy2 0上的动点，若经过点F、P的圆C与l相切，则圆C面积的最小值为()A.2B C3 D4 解析：由于圆C经过F、P且与直线y1相切，所以圆心到点F、P与直线y1的距离相等由抛物线的定义知圆心C在以点(0,1
10、)为焦点的抛物线x24y上，圆与直线xy0的交点为点P.显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，此时圆面积最小为.故选B.答案：B例3 已知圆C：(xa)2(y2)24(a0)及直线l：xy30，当直线l被圆C截得的弦长为2 3时，a等于()A.2B2 2C.21 D.21 分析：由C的标准方程可得圆心坐标和半径，圆心到直线l的距离d，半径r，半弦长构成直角三角形可求得a.解析：圆半径为2，半弦长为3，所以圆心到直线l的距离为1，即|a23|21(a0)，a 21.答案：C 解析：圆x2y24y0的圆心C(0,2)，半径r2，由图可知C到直线AO的距离为1，AO2，故选D.答案：D(理)(2
11、010江西文)直线ykx3与圆(x2)2(y3)24相交于M，N两点，若|MN|2 3，则k的取值范围是()A34，0 B 33，33 C 3，3 D23，0解析：如图，当弦长为23 时，k33，故要使|MN|2 3，应有 33 k 33.答案：B例4 如下图，双曲线x2a2y2b21的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为()A相交 B相切C相离 D以上情况都有可能解析：设右焦点为F2，取PF1的中点M，连结MO和PF2，则两圆半径分别为12|PF1|和a，两圆圆心距为|MO|，且|MO|12|PF2|.当P点在双曲线右支上
12、时，|PF1|PF2|2a，|MO|12|PF1|a，此时两圆内切；当P点在双曲线左支上时，|PF2|PF1|2a，|MO|12|PF1|a，此时两圆外切选B.答案：B(2010南京市调研)已知圆F1：(x1)2y216，定点F2，动圆过点F2，且与圆F1相内切(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)若过原点的直线l与(1)中的曲线C交于A、B两点，且ABF1的面积为，求直线l的方程解析：(1)设动圆M的半径为r，因为圆M与圆F1内切，|MF2|r所以|MF1|4|MF2|，即|MF1|MF2|4所以点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆且设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)其中2a4，c
13、1，所以a2，b 3所以曲线C的方程x24y231(2)因为直线l过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，SABF12SAOF1，因为SABF1 32，所以SAOF1 34.不妨设点A(x1，y1)在x轴上方，则SAOF112OF1y1 34.所以y1 32，x1 3，即点A的坐标为3，32 或 3，32所以直线l的斜率为12，故所求直线方程为x2y0.例5 在xOy平面内的直线xy1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小解析：由已知，可设M(x,1x,0)，则|MN|x621x52012 2x1251，当x1时，|MN|min 51，此时M(1,0,0)已知A(2,5，6)，点P在y轴上
14、，|PA|7，则点P的坐标是()A(0,8,0)B(0,2,0)C(0,8,0)或(0,2,0)D(0，8,0)解析：点P在y轴上，可设为(0，y,0)，因为|PA|7，A(2,5，6)，所以 22y52627，解得y2或8.答案：C一、选择题1(2010湖北文)若直线yxb与曲线y34xx2有公共点，则b的取值范围是()A12 2，12 2 B1 2，3C1,12 2 D12 2，3答案 D解析 由y34xx2，得(x2)2(y3)24，其中y3，如图所示：直线yxb的斜率为1.在l1，l2之间的所有直线都满足要求当直线在l1处时，|23b|22，解得b12 2(舍去)，或b12 2.当直线
15、在l2处时，30b，b3，b12 2，32若a、b、c是直角三角形的三边(c为斜边)，则圆x2y22截直线axbyc0所得的弦长等于()A1 B2 C.3 D2 3答案 B解析 a、b、c是直角三角形的三条边，a2b2c2.设圆心O到直线axbyc0的距离为d，则d|c|a2b21，直线被圆所截得的弦长为2 22122.3点M(x，y，z)在坐标平面xOy内的射影为M1，M1在坐标平面yOz内的射影为M2，M2在坐标平面zOx内的射影的坐标为()A(x，y，z)B(x，y，z)C(0,0,0)D.xyz3，xyz3，xyz3 答案 C 解析 点M(x，y，z)在平面xOy内的射影为M1(x，y
16、,0)，M1在平面yOz内的射影为M2(0，y,0)，M2在平面xOz内的射影为原点O(0,0,0)二、填空题 4(文)与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程是_ 答案(x2)2(y2)22解析 A：(x6)2(y6)218的圆心A(6,6)，半径r13 2，A到l的距离5 2，所求圆B的直径2r22 2，即r2 2.设B(m，n)，则由BAl得n6m61，又B到l距离为 2，|mn2|2 2，解出m2，n2.(理)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x2)2y29交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为_ 答案 x2y30解析 点M在圆C内
17、，当弦AB最短时，ACB最小，此时kl 1kMC210212，所以l：y212(x1)，即x2y30.5直线2xya0与圆x2y29相交于A、B两点，弦AB的长为6 55，则OA OB _.解析 由题意得(|a|5)2(3 55)232，a6，当a6时，由2xy60 x2y29消去y得5x224x270，x13，x295，A(3,0)，B(95，125)OA OB 275a6时同样可得OA OB 275.1(09浙江)已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()A3 B4 C5 D6 答案 B解析 边长为3,4,5的三角形内切圆半径为r34521.而半径为1
18、的圆的圆心在圆心与三角形任一顶点连线段上移动时，都可能产生4个交点，故选B.2圆x2y24x0在点P(1，3)处的切线方程为()Ax 3y20 Bx 3y40Cx 3y40 Dx 3y20答案 D解析 解法1：设所求切线方程为y3k(x1)x2y24x0ykxk 3 x24x(kxk 3)20.该二次方程应有两相等实根，即0，解得k 33.y 3 33(x1)，即x 3y20.解法2：点(1，3)在圆x2y24x0上，点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直又圆心为(2,0)，0 321 k1.解得k 33，切线方程为x 3y20.解法3：点P在切线上，排除A、C；圆心(2,0)与切点P(1
19、，3)连线与切线垂直，故切线斜率为 33，排除B.3已知直线l：AxByC0，其中A、B、C均不相等且A、B、C1,2,3,4,5，在这些直线中但取一条，该直线与圆x2y21无公共点的概率为()A.12B.310C.25D.710答案 B解析 无公共点，dr，即|C|A2B21，C2A2B2当C5时，共有43210种，当C4时，有A326种，当C3时，有A222种，共18种，P 18A53 310.4(2010山东)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2 ，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_ 答案 xy30解析 设圆心为(a,0)，半径为r，则
20、圆方程为(xa)2y2r2，由题意得，r2|a1|2221a2r2，解得a3r2，所求直线方程为y0(x3)，即xy30.5设有一组圆Ck：(xk1)2(y3k)22k4(kN*)下列四个命题：A存在一条定直线与所有的圆均相切 B存在一条定直线与所有的圆均相交 C存在一条定直线与所有的圆均不相交 D所有的圆均不经过原点 其中真命题的代号是_(写出所有真命题的代号)答案 B、D解析 Ck的圆心(k1,3k)，半径2 k2，Ck1的圆心(k,3k3)，半径 2(k1)2，圆心距为d 10，半径差值为 2(2k1)3 2 10，所以圆Ck内含于圆Ck1即不存一条定直线与所有圆均相切，故不选A；由圆心
21、(k1,3k)在直线y3(x1)上，则存在直线y3(x1)与所有的圆均相交，所以B为真 由半径增加速度比圆心移动速度快，随着k的增大圆可以扫过整个平面，所以不存在一条定直线与所有的圆均不相交故不选C；把(0,0)点代入圆的方程，(k1)29k22k4，由k1，k是连续自然数一奇一偶 则(k1)29k2为奇数，2k4为偶数，所以方程无解，即所有的圆均不经过原点，故D真 6(浙江金华)已知圆O的方程为x2y24，P是圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域|x|y|a覆盖，则实数a的取值范围是_ 答案 a1 解析 平面区域|x|y|a是以A(a,0)、B(0，a)、C(a,0)、D(0，a)为顶点的正方形边界及外部区域，OP的垂直平分线l到圆心的距离始终为1，故l为圆x2y21的切线，故若|x|y|a能覆盖所有的切线l应有a1如图 7(2010上海奉贤区调研)已知实数a，b，c成等差数列，点P(1,0)在直线axbyc0上的射影是Q，则点Q的轨迹方程是_ 答案 x2(y1)22解析 由条件知2bac，即a2bc0直线axbyc0过点A(1，2)，设Q(x，y)，则PQ AQPQ(x1，y)，AQ(x1，y2)(x1)(x1)y(y2)0即x2(y1)22.
