1、2.8 对数与对数函数巩固夯实基础 一、自主梳理 1.对数 (1)对数的定义 如果ab=N(a0,a1),那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b. (2)指数式与对数式的关系 ab=NlogaN=b(a0,a1,N0). 两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. (3)对数运算性质 loga(MN)=logaM+logaN; loga=logaM-logaN; logaMn=nlogaM(M0,N0,a0,a1); 对数换底公式:logbN=(a0,a1,b0,b1,N0). 2.对数函数 (1)对数函数的定义 函数y=logax(a0,a1)叫做对数函数，其中
2、x是自变量，函数的定义域是(0,+). (2)对数函数的图象 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. (3)对数函数的性质 定义域:(0,+); 值域:R; 过点(1,0)，即当x=1时，y=0; 当a1时，在(0,+)上是增函数；当0a1时，在(0,+)上是减函数. 二、点击双基1.(2005北京春季高考)函数f(x)=|log2x|的图象是( )解析:f(x)=答案:A2.(2006北京西城模拟)若函数f(x)=则f(log43)等于( )A. B.3 C. D.4解析:log430,1, f(log43)=3.故选B.答案:B3.已知1mn，令a=(logn)2，b=logn2，
3、c=logn(lonm)，则( )A.abc B.Acb C.bAc D.cAb解析:1,0logn1. logn(logn)0.答案:4.(2004北京春季高考)若f-1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则f-1(x)的值域为_.解析:f-1(x)的值域为f(x)=lg(x+1)的定义域.由f(x)=lg(x+1)的定义域为(-1,+), f-1(x)的值域为(-1,+).答案:(-1,+)5.(2006天津河西期末)若函数y(2-log2x)的值域是(-,0),那么它的定义域是( )A.(0,2) B.(2,4) C.(0,4) D.(0,1)解析:y=(2-log2x)的值域
4、是(-,0), 由(2-log2x)1. log2x1.0x2.故选A.答案:A诱思实例点拨 【例1】 已知函数f(x)=则f(2+log23)的值为( )A. B. C. D.解析:32+log234, f(2+log23)=f(3+log23)=.答案:D【例2】 求函数y=log2x的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.解:x0, 函数的定义域是xxR且x0.显然y=log2x是偶函数，它的图象关于y轴对称.又知当x0时，y=log2xy=log2x.故可画出y=log2x的图象如下图.由图象易见，其递减区间是(-，0)，递增区间是(0，+).讲评:研究函数的性质时，利用图象更直观.链接拓展 已知y=a2x+2(ab)x-b2x+1(a、bR+),如何求使y为负值的x的取值范围? 提示:要使y1,即a2x+2(ab)x-b2x0. b2x0, ()2x+2()x-10. ()x-1或()x1,=1,b0时，x(-1); a=b0时，xR; 0ab时，x0,得1-x1+,x(1-,1)时，3-(x-1)2单调递增，从而f(x)单调递减；x1,1+)时，f(x)单调递增.链接提示 讨论复合函数的单调性要注意定义域.
