1、第一章 集合与函数概念习题课(三)函数的基本性质课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 1能够从函数图象上认识函数的单调性和奇偶性，理解并掌握函数的单调性和奇偶性的定义(重点)2熟练运用函数单调性和奇偶性的定义判断函数的基本性质(重点、难点)3能够利用函数的单调性比较函数值的大小或解不等式(重点、难点)课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 1下列函数中，既是奇函数又是增函数的是()Ayx1 Byx2Cy1xDyx|x|解析：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断函数 yx1 为非奇非偶函数，函
2、数 yx2 为偶函数，y1x和 yx|x|是奇函数，但 y1x是减函数，故选 D.答案：D 课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 2定义在 R 上的偶函数 f(x)，对任意 x1，x20，)(x1x2)，有fx2fx1x2x10，则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)f(2)课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 解析：f(x)为偶函数，故f(2)f(2)又由题意知当x0，)时，f(x)为减函数，且321，f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)f(1)答案：A课堂互动探究 数学 必修
3、1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 3(2013山东高考)已知函数 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)x21x，则 f(1)()A2 B0 C1 D2课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 解析：利用奇函数的性质 f(x)f(x)求解当 x0 时，f(x)x21x，f(1)12112.f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.答案：A 课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 4若偶函数f(x)在(，0上为增函数，则满足f(1)f(a)的实数a的取值范围是_解析：偶函数 f(x)在(，0上为增函数，所以 f(x)在(0，)上是减函数，f(1)f(a)a
4、0，1a或a0，1a 0a1 或1a0.故 a1,1答案：1,1 课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 5设函数 f(x)x1xax为奇函数，则实数 a_.解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，x1xaxx1xax，即 2(a1)x0，x 不恒为 0，a10，a1.答案：1 课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 6已知函数 f(x)1a1x(a0，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若 f(x)在12，2 上的值域是12，2，求 a 的值课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 (1)证明：设 x2x10，则
5、x2x10，x1x20.f(x2)f(x1)1a1x2 1a1x11x11x2x2x1x1x2 0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函数课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 (2)解：f(x)在12，2 上的值域是12，2，又 f(x)在12，2 上单调递增，f12 12，f22，即1a212，1a122，解得 a25.课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 函数奇偶性与单调性的判定f(x)x1x2是定义在(1,1)上的函数(1)判断函数 f(x)的奇偶性；(2)利用函数单调性的
6、定义证明：f(x)是其定义域上的增函数思路点拨：分别按照奇(偶)函数的定义与增(减)函数的定义来判断或证明是解答此类问题的关键课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 (1)解：因为定义域为(1,1)，关于原点对称，且 f(x)x1x2f(x)，f(x)x1x2是奇函数课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 (2)证明：设 x1，x2 为(1,1)内任意两实数，且 x1x2，则f(x1)f(x2)x11x21 x21x22x11x22x21x211x211x22x1x21x1x21x211x22又因为1x1x21，所以 x1x20,1x1x20，所以 f(
7、x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在(1,1)上是增函数课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 1用定义法判断函数的奇偶性时，为了判断 f(x)与 f(x)的关系，既可以从 f(x)开始化简，也可以去考虑 f(x)f(x)或 f(x)f(x)是否为 0，当 f(x)不等于 0 时也可考虑fxfx 与 1 或1 的关系2对于函数 yf(x)，xa，b设 x1，x2a，b，若 x1x2 与 f(x1)f(x2)同号，则 yf(x)在a，b上是单调递增的；若x1x2 与 f(x1)f(x2)异号，则 yf(x)在a，b上是单调递减的课堂互动探究 数学
8、 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 1已知函数 f(x)2xax(a0)(1)判断函数 f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)求证：函数 f(x)在区间(0，)上是增函数(1)解：函数 f(x)2xax为奇函数证明如下：f(x)的定义域为x|x0，f(x)2(x)ax2xaxf(x)，所以函数 f(x)为奇函数课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 (2)证明：设 x1x20，则 f(x1)f(x2)2x1ax12x2ax2 2(x1x2)ax2ax1 2(x1x2)ax1x2x1x2(x1x2)2 ax1x2.因为 x1x20，所以 x1x20，因为 a0，所以
9、2 ax1x20，所以(x1x2)2 ax1x2 0，所以f(x1)f(x2)0，所以函数 f(x)在区间(0，)上是增函数课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 设f(x)是定义在R上的函数，对任意的x，yR，恒有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时，0f(x)1.(1)求f(0)；(2)求证：对任意xR，恒有f(x)0；(3)求证：f(x)在R上是减函数 抽象函数的奇偶性与单调性课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 思路点拨：(1)采用赋值法，可令 x0，y1.(2)由 f(0)的值易判断 f(0)是否大于 0.只需证 x0 时，f(x)0即可若
10、设x0，则x0.由f(xx)f(x)f(x)可得f(x)f0fx，而f(x)0.(3)对任意 x1，x2R，且 x1x2，则 x2x10,0f(x2x1)1.此时只需将 f(x2)变形为 f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 (1)解：因为 f(xy)f(x)f(y)令 x0，y1，得 f(1)f(0)f(1)因为 f(1)0，所以 f(0)1.(2)证明：由已知和(1)知，当 x0 时，有 f(x)0.设 x0，则x0，所以 f(xx)f(x)f(x)1，所以 f(x)1fx0，所以对任意 xR，恒有 f(x)0.课堂互动探究
11、数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 (3)证明：设 x1x2，则 x2x10，由已知得 0f(x2x1)1，所以 f(x2x1)10，又 f(x1)0，且 f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)，f(x2)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)1f(x1)0，所以 f(x)在 R 上是减函数课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 本题主要考查对抽象函数的函数值域和单调性的探究由抽象函数求解某些函数值如f(0)时，一般采用赋值法求解，赋值要恰当准确已知一部分函数值求另一部分函数值时，则需要设到所求段上，然后转到已知段求解根据函数单调
12、性的定义，构造能够借助已知条件中的不等式，判断出函数的单调性是此类问题的难点，也是关键点，需要剖析已知恒等式的结构，转化为已知条件课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 2已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意x，yR，有f(xy)f(x)f(y)；当x0时，f(x)0且f(1)3.(1)求证：f(0)0；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)解不等式f(2x2)f(x)12.课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 (1)证明：令 x0，y0，则有 f(0)f(0)f(0)，f(0)0.(2)解：令 yx，f(0)f(x)f(x)0，f(x)f(x)，
13、函数 f(x)是奇函数课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 (3)解：设x1x2，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)为R上减函数 f(2x2)f(x)f(2x2)f(x)f(x2)12，又124f(1)f(4)，f(x2)f(4)，x24，x6，原不等式的解集为x|x6课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 函数单调性与奇偶性的综合应用函数 f(x)axb1x2是定义在(1,1)上的奇函数，且 f12 25.(1)确定函数 f(x)的解析式；(2)用定义证明 f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解
14、不等式 f(t1)f(t)0.课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 思路点拨：(1)由 f(0)0，f12 25求得 a，b.(2)利用定义法求证(3)利用 f(x)为奇函数且为(1,1)上的增函数将对应关系“f”去掉课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 (1)解：根据题意得f00f12 25，即 a0b102 0a2b11425，解得a1b0，f(x)x1x2.课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 (2)证明：任取1x1x21，f(x1)f(x2)x11x21 x21x22x1x21x1x21x211x22.1x1x21，x1
15、x20,1x210,1x220.又1x1x21，1x1x20，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，f(x)在(1,1)上是增函数课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 (3)解：f(t1)f(t)f(t)f(x)在(1,1)上是增函数，1t111t1t1t，解得 0t12.课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 函数的单调性与奇偶性是函数的两大重要性质，二者的有机结合可以解决好多函数问题，在具体应用时，应注意单调性与奇偶性的灵活使用例如本例中f(x)是(1,1)上的奇函数，则f(0)0，又f(x)是(1,1)上的增函数，可将函数不等式中的“
16、f”脱掉，由函数值间的大小关系转化为自变量间的大小关系特别注意的是需要保证每一个自变量的取值都在函数的定义域内课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 3已知函数f(x)是定义在(2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m1)f(12m)0，求实数m的取值范围课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 解：由题意知2m12，212m2，得12m32.由函数 f(x)是定义在(2,2)上的奇函数及 f(m1)f(12m)0，得 f(m1)f(2m1)函数 f(x)在(2,2)上是减函数，m12m1，得 m0.实数 m 的取值范围为0，32.课堂互动探究 数学 必修1(A)课时跟踪检测 课前自主预习 点击进入WORD链接谢谢观看！
