1、最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题第6讲 离散型随机变量的均值与方差 1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为(1)均值称E(X)_为随机变量X的均值或_，它反映了离散型随机变量取值的_知 识 梳 理X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn x1p1x2p2xipixnpn数学期望平均水平2均值与方差的性质(1)E(aXb)_(2)D(aXb)_(a，b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)_(2)若XB(n，p)，则E(
2、X)np，D(X)_(2)方差称 D(X)_为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的_，其算术平方根 D（X）为随机变量 X 的_平均偏离程度标准差ni1(xiE(X)2piaE(X)ba2D(X)p(1p)np(1p)1判断正误(请在括号中打“”或“”)精彩PPT展示(1)期望值就是算术平均数，与概率无关()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小()(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事()诊 断 自
3、测2已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)6.3，则a的值为()A.5 B6 C7 D8解析 由分布列性质知：0.50.1b1，b0.4.E(X)40.5a0.190.46.3.a7.答案 CX 4 a 9 P 0.5 0.1 b 3(2014陕西卷)设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1，2，10)，则y1，y2，y10的均值和方差分别为()A1a，4 B1a，4aC1，4 D1，4a解析 将每个数据都加上a后均值也增加a，方差不变，故选A.答案 AA5 B8 C10 D16 答案 B4设随机变量 X 的分布列为 P(Xk)15(k2，4，
4、6，8，10)，则 D(X)等于()解析 E(X)15(246810)6，D(X)15(4)2(2)20222428.5(人教A选修23P69B1改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为_解析 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现 5 点和 6 点时的概率为464649，所以至少有一次出现 5 点或 6 点的概率为14959，用 X 表示 10 次试验中成功的次数，则 XB10，59，E(X)1059509.答案 509考点一 离散型随机变量的均值与方差【例1】(2013浙江卷)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红
5、球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量X为取出此2球所得分数之和，求X的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量Y 为取出此球所得分数若 E(Y)53，D(Y)59，求 abc.所以X的分布列为解(1)由题意得 X2，3，4，5，6.故 P(X2)336614，P(X3)23266 13，P(X4)2312266 518，P(X5)22166 19，P(X6)1166 136.X23456 P141351819136(2)由题意知Y的分布列为Y123 Paabcb
6、abccabc所以 E(Y)aabc2babc3cabc53，D(Y)1532aabc2532babc3532cabc59.化简得2ab4c0，a4b11c0.解得a3c，b2c，故 abc321.规律方法(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算(2)注意性质的应用：若随机变量X的均值为E(X)，则对应随机变量aXb的均值是aE(X)b，方差为a2D(X)【训练1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1，2，3，4)现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(1)求X的分布列、期望和方差；
7、(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求a，b的值 解(1)X的分布列为X01234P1212011032015E(X)0121 1202 1103 3204151.5.D(X)(01.5)212(11.5)2 120(21.5)2 110(31.5)2 320(41.5)2152.75.(2)由 D(Y)a2D(X)，得 a22.7511，即 a2.又 E(Y)aE(X)b，所以当 a2 时，由 121.5b，得 b2.当 a2 时，由 121.5b，得 b4.a2，b2或a2，b4，考点二 与二项分布有关的均值、方差【例 2】(2013福建卷)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲
8、、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3 分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响记“这 2 人的累计得分 X3”的事件为 A，则事件 A 的对立事件为“X5”，(2)法一 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为
9、X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)因为 P(X5)2325 415，所以 P(A)1P(X5)1115，即这 2 人的累计得分 X3 的概率为1115.由已知可得，X1B2，23，X2B2，25，所以 E(X1)22343，E(X2)22545，因此 E(2X1)2E(X1)83，E(3X2)3E(X2)125.因为 E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大 法二 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y2，则
10、Y1，Y2的分布列为：Y1024 P194949 Y2036 P9251225425E(Y1)01924944983，E(Y2)0 925312256 425125，因为 E(Y1)E(Y2)，所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大规律方法 求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果XB(n，p)，则用公式E(X)np；D(X)np(1p)求解，可大大减少计算量【训练2】(2014辽宁卷)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日
11、销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X)解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X 可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率为P(X0)C03(10.6)30.064，P(X1)C130.
12、6(10.6)20.288，P(X2)C230.62(10.6)0.432，P(X3)C330.630.216.分布列为因为XB(3，0.6)，所以数学期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 考点三 均值与方差在决策中的应用【例3】(2014湖北卷)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年将
13、年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？年入流量X 40X120 发电机最多 可运行台数 1 2 3 解(1)依题意，p1P(40X120)5500.1.由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120的概率为pC04(1p3)4C14(1p3)3p39
14、10449103110 0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装2台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.Y 4 200 10 000 P 0.2 0.8
15、安装3台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120时，三台发电机运行，此时Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.因此得Y的分布列如下所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 规律方法 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于
16、方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定【训练3】某投资公司在2015年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和 115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解 若按“项目一”投资，设获利为X1万元则X1的分布列为X1300150P7929E(X1
17、)30079(150)29200(万元)若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为：X25003000P3513115E(X2)50035(300)130 115200(万元)D(X1)(300200)279(150200)22935 000，D(X2)(500200)235(300200)213(0200)2115140 000.所以E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资微型专题 概率的创新题型近年来，概率统计已成为高考的重点、热点注意考查学生分析数据，提取信息，解决实际问题的应用能力它可以
18、与其他知识相互融合，形成一些背景、样式新颖的题型【例4】(2013四川卷)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，24这24个整数中等可能随机产生(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i1，2，3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i1，2，3)的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表(部分)运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数 30 14 6 10 2 100 1 027 376 697 乙的频数统计表(部分)当n2 100时，根
19、据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数 30 12 11 7 2 100 1 051 696 353(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数X的分布列及数学期望点拨(1)运行程序框图，分别数出输出y的值为1，2，3的数的个数，即事件包含的基本事件个数，利用古典概型公式求解(2)利用已知条件中频数统计表得出各小组频数，利用频率公式得频率，再与(1)的结论比较，得出结论(3)利用独立重复试验
20、概率公式 P(Xk)Cknpk(1p)nk(0kn)求出分布列，再用数学期望公式求解解(1)变量 x 是在 1，2，3，24 这 24 个整数中随机产生的一个数，共有 24 种可能当 x 从 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23 这12 个数中产生时，输出 y 的值为 1，故 P112；当 x 从 2，4，8，10，14，16，20，22 这 8 个数中产生时，输出 y 的值为 2，故 P213；(2)当n2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1，2，3)的频率如下：当 x 从 6，12，18，24 这 4 个数中产生时，输出 y 的值为3，故 P316.所
21、以，输出 y 的值为 1 的概率为12，输出 y 的值为 2 的概率为13，输出 y 的值为 3 的概率为16.比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大输出 y 的值为 1 的频率输出 y 的值为 2 的频率输出 y 的值为 3 的频率甲1 0272 1003762 1006972 100 乙1 0512 1006962 1003532 100(3)随机变量 X 可能的取值为 0，1，2，3.P(X0)C03130233 827，P(X1)C1313123249，P(X2)C2313223129，P(X3)C33133230 127.故X的分布列为X0123 P82749
22、29127所以 E(X)0 8271492293 1271.即 X 的数学期望为 1.点评(1)本题将程序框图，古典概型，独立重复试验及随机变量分布列结合起来考查，具有一定的综合性，同时形式也比较新颖(2)本题注重考查学生的识图，用图能力，数据处理能力，分析问题解决问题的能力等基本能力.思想方法1掌握下述均值与方差有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aXb)aE(X)b，E(XY)E(X)E(Y)，D(aXb)a2D(X)；(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)2基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数YaXb的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解易错防范1在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式2对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差
