1、(一)数列推理类 典例 1(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数将三角形数 1,3,6,10，记为数列an，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：(1)b2012 是数列an中的第_项；(2)b2k1_.(用 k 表示)解析：由题意可得 an123nnn12，nN*，故 b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，由上述规律可知：b2ka5k5k5k12(k 为正整数)，b2k1a5k15k15k1125k5k12，故 b2 012b21 006a51 006a5 030，即 b
2、2 012 是数列an中的第 5 030 项答案：(1)5 030(2)5k5k12命题点评：此题是以形为载体，考查数列的通项公式等基础知识，考查特殊与一般的数学思想方法，考查归纳与猜想、推理与计算的能力(2)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”问此人最后一天走了()A6 里B12 里C24 里D36 里A解析：设第一天走的里数为 a1，依次为 a2，a3，a4，a5，
3、a6，形成公比为12的等比数列，且 S6378.即a11126112378，解得 a1326，a6a1125326 1256.命题点评：此题为中国古代数学问题，考查了等比数列的基本运算(3)洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图案如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中洛书中蕴含的规律奥妙无穷，比如：429222821262.据此你能得到类似的等式是_解析：根据图案中左右两侧数字类比写出等式答案：423282627222命题点评：中国古代文化源远流长，神秘莫测，此题考查用类比方法写等式(答案不唯一)此外，图案中每行、每列、每条对角线上的数
4、字之和都相等自我挑战1古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数 1,3,6,10，第 n 个三角形数为nn1212n212n.记第 n个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数 N(n,3)12n212n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)32n212n，六边形数 N(n,6)2n2n，可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)_.解析：由 N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当 k为偶数时，N(n，k)k21 n2k22 n，于是 N(n，24)11n210n，故 N(10,
5、24)1110210101 000.答案：1 0002莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题：把 100 个面包分给 5 个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为()A.52B.54C.53D.56解析：选 C.由题易得中间的那份为 20 个面包，设最小的一份为 a1，公差为 d，根据题意，于是有20(a13d)(a14d)17a1(a1d)，解得 a153.3(2017山东青岛模拟)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上
6、进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 用算筹可表示为()B解析：选 B.根据题意，8335 的“8 千”用“”“3 百”用“”“3 拾”用“”“5 个”用“”，故选 B.4(2017高考全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯()A1 盏B3 盏C5 盏D9 盏B解析：选 B.设塔的顶层的灯数为 a1，七层塔的总灯数为 S7，公比为 q，则由题意知 S7381，q2，S7a11q71qa112712381，解得 a13.故选 B.
