1、第三章3.2第三课时一、选择题1在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E1，F1分别是线段A1B1，A1C1的中点，则直线BE1与AF1所成角的余弦值是(A)ABCD解析 以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,1,0)，E1，故.又A(1,0,0)，F1，故，故cos ，即为两异面直线所成角的余弦值2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于(C)A120B60C30D以上均错解析 设直线l与平面所成的角为，则sin |cos 120|，又090，30.3(2018天津一中月考)若两个平面的法向量分别为(4,3,0)
2、和(0，3,4)，则这两个平面的二面角的余弦值为(D)ABCD或解析 ，二面角的余弦值为或.4在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成角是(A)A30B45C60D90解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，0)，(1，1)，平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，cos，n，n120，斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60，斜线PC与平面ABCD所成角为30.5已知直角ABC中，C90，B30，AB4，D为AB的中点，沿中线将ACD折起使得AB，则二面角ACDB的大小为(C)A60B90C120D150解析 取
3、CD中点E，在平面BCD内过点B作BFCD，交CD的延长线于F.依题意知，AECD，AEBF，EF2，AB.且，为二面角的平面角，由()2得1333423cos，cos，120.即所求的二面角为120.6(2018河南焦作一中月考)在平面直角坐标系中，已知A(2,3)，B(2，3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为的二面角AOxB，使AOB90，则cos 为(C)ABCD解析 过A，B分别作x轴垂线，垂足分别为A，B.则AA3，BB3，AB4，OAOB，折后，AOB90，AB.由，得|2|2|2|22|cos()，269429233cos()，cos .二、填空题7正方体ABCDA1B1C1D1
4、中，E，F分别为AB，CC1的中点，则异面直线EF与A1C1夹角的大小是_30_.解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则E(0,1,2)，F(2,2,1)，A1(0,0,0)，C1(2,2,0)，(2,1，1)，(2,2,0)，cos，30.异面直线EF与A1C1夹角的大小为30.8在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是_.解析 建立如图的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A1(1,0,1)，D(0,0,0)，(1,0,1)，(1,0，1)，(1，1,0)设平面A1BD的一个法向量为n(1，x，y
5、)，平面A1BD与BC1所成的角为.由n，n，有解得n(1，1，1)，则cos，n，sin ，cos .9(2018安徽合肥调研)已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为_.解析 建立如图的空间直角坐标系，则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)(，1,0)，(，1，3)，(0,2，3)设平面SBC的法向量为n(x，y，z)，则令y3，则z2，x，n(，3,2)设AB与平面SBC所成的角为，则sin .三、解答题10(2018北京丰台一模)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB
6、90，AC2BC，A1BB1C，求B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值解析 如图，建立空间直角坐标系Cxyz.设BC1，CC1a，则A(2,0,0)，A1(2,0，a)，B(0,1,0)，B1(0,1，a)，(2,1，a)，(0，1，a)，(2,1,0)，(0,0，a)A1BB1C，0，a1，(0，1，1)设平面A1ABB1的法向量为n(x，y，z)，由得即设x1，则有y2，可取n(1,2,0)设B1C与侧面A1ABB1所成角为，sin |cos，n|.则B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值为.11已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点(1)
7、求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离解析 (1)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示则D(0,0,0)，P(0,0,1)，E，F，所以，设平面PEF的法向量为n(x，y，z)，则所以令x2，则y2，z3，所以n(2,2,3)为平面PEF的一个法向量，所以点D到平面PEF的距离为.(2)由(1)知A(1,0,0)，所以.因为AC平面PEF，所以点A到平面PEF的距离为，所以直线AC到平面PEF的距离为.12(2018福建师大附中)如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，且侧棱AA1底面ABC，侧棱长
8、是 ，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求二面角A1BDA的大小；(3)求直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值解析 方法一(1)证明：如图，设A1B与AB1相交于点P，连接PD，则P为AB1的中点又D为AC的中点，PDCB1.又PD平面A1BD，CB1平面A1BD，B1C平面A1BD.(2)三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，AA1BD.又BDAC，BD平面AA1D，A1DBD，A1DA是二面角A1BDA的平面角AA1，ADAC1，tanA1DA，A1DA60，即二面角A1BDA的大小是60.(3)作AMA1D于点M，由(2)知BD平面AA1D，BDAM.又A1D
9、BDD，AM平面A1DB.连接MP，则APM就是直线AB1与平面A1BD所成的角在RtA1AD中，AA1，AD1，A1DA60，AM.又APAB1，sinAPM，直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值为.方法二(1)同方法一(2)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0，)，B(0，0)，B1(0，)，(1，)，(1，0，)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则即取n(，0,1)，由题意，知(0,0，)是平面ABD的一个法向量cosn，即二面角A1BDA的大小是60.(3)由(2)得(1，)，又n(，0,1)为平面A1BD的一个法向量，则cos，n.直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值为.
