1、考点 1 函数及其表示1函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则2分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数例 1(1)(2017山东卷)设 f(x)x，0 x1，2x1，x1.若 f(a)f(a1)，则 f1a()A2 B4C6 D8(2)函数 f(x)2ax2 016ax1的值域为_C(2016,2)【解析】(1)若 0a0，所以 ax11，所以 02 018ax12 018，所以2 01622 018ax12，故函数 f
2、(x)的值域为(2 016,2)技法领悟(1)函数定义域的求法 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可(2)分段函数问题的 5 种常见类型及解题策略 求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算 求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小 解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提 求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程 奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断1(2016全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分
3、别与函数 y10lg x 的定义域和值域相同的是()AyxBylg xCy2x Dy 1x解析：根据函数解析式特征求函数的定义域、值域 函数 y10lg x 的定义域与值域均为(0，)函数 yx 的定义域与值域均为(，)函数 ylg x 的定义域为(0，)，值域为(，)函数 y2x 的定义域为(，)，值域为(0，)函数 y 1x的定义域与值域均为(0，)故选 D.答案：D2(2017石家庄检测)设函数 f(x)2xn，x1，log2x，x1，若 ff34 2，则实数 n 为()A54B13C.14 D.52解析：因为 f34 234n32n，当32n1，即 n12时，ff34232n n2，解
4、得 n13，不符合题意；当32n1，即 n12时，ff34 log232n 2，即32n4，解得 n52，故选 D.答案：D考点 2 函数的图象及应用 图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换尤其注意 yf(x)与 yf(x)，yf(x)，yf(x)，yf(|x|)，y|f(x)|及 yaf(x)b 的相互关系例 2(1)(2017全国卷)函数 y sin 2x1cos x的部分图象大致为()ABCD(2)已知 f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|0，f()sin 21cos 0，排除选项 A，D.由 1cos x0 得 x
5、2k(kZ)，故函数 f(x)的定义域关于原点对称 又 f(x)sin2x1cosx sin 2x1cos xf(x)，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项 B.故选C.(2)由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，而 h(x)|fx|，|fx|gx，gx，|fx|gx，故 h(x)有最小值1，无最大值 技法领悟(1)作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换尤其注意 yf(x)与 yf(x)，yf(x)，yf(x)，yf(|x|)，y|f(x)|及 yaf(x)b 的相互关系(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分
6、布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系(3)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究3(2017福建三明调研)函数 yax2bx 与函数 yxab(a0)在同一坐标系中的图象可能为()解析：yax2bxax b2a2b24a.对 A，由二次函数图象可知，a0，b2a0，所以 b0，函数 yxab 不符合要求，同理 B 不符合要求；对于 C，D，由二次函数图象可知，a0，所以b0，比较选项 C，D 可知 C 符合要求 答案：C4已知定义在区间0,4上的函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(2x)的图象为()解析：法一 先作出函数
7、 yf(x)的图象关于 y 轴的对称图象，得到 yf(x)的图象；然后将 yf(x)的图象向右平移 2 个单位，得到 yf(2x)的图象；再作 yf(2x)的图象关于 x 轴的对称图象，得到 yf(2x)的图象故选 D.法二 先作出函数 yf(x)的图象关于原点的对称图象，得到 yf(x)的图象；然后将 yf(x)的图象向右平移 2 个单位，得到 yf(2x)的图象 答案：D考点 3 函数性质的综合应用 函数三个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上尤其注意偶函数 f(x)的性质：f(|x
8、|)f(x)(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解例 3(1)(2017北京卷)已知函数 f(x)3x13x，则 f(x)()A是奇函数，且在 R 上是增函数B是偶函数，且在 R 上是增函数C是奇函数，且在 R 上是减函数D是偶函数，且在 R 上是减函数(2)(2017全国卷)函数 f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若 f(1)1，则满足1f(x2)1 的 x 的取值范围是()A2,2 B1,1C0,4D1,3(3)(2017山东卷)已知 f(x)是定义在 R
9、上的偶函数，且 f(x4)f(x2)若当 x3,0时，f(x)6x，则 f(919)_.AD6【解析】(1)函数 f(x)的定义域为 R，f(x)3x13x13x3xf(x)，函数 f(x)是奇函数 函数 y13x 在 R 上是减函数，函数 y13x 在 R 上是增函数 又 y3x 在 R 上是增函数，函数 f(x)3x13x 在 R 上是增函数 故选 A.(2)f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得 f(1)f(x2)f(1)又 f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.故选 D.(3)f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即
10、 f(x6)f(x)，f(x)是周期为 6 的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(1)f(1)6，即 f(919)6.技法领悟(1)判断函数奇偶性的 3 个技巧 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称 确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称 对于偶函数而言，有 f(x)f(x)f(|x|)(2)周期性的 3 个常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x；若 f(xa)f(x)，则 T2a；若 f(xa)1fx，则 T2a；若 f(xa)1fx，则 T2a.(a0)(3)与函数对称性有关的 3 条结论 函
11、数 yf(x)关于 xab2 对称f(ax)f(bx)f(x)f(bax)；特例：函数 yf(x)关于 xa 对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)；函数 yf(x)关于 x0 对称f(x)f(x)(即为偶函数)；函数 yf(x)关于点(a，b)对称f(ax)f(ax)2bf(2ax)f(x)2b；特例：函数 yf(x)关于点(a,0)对称f(ax)f(ax)0f(2ax)f(x)0；函数 yf(x)关于点(0,0)对称f(x)f(x)0(即为奇函数)；yf(xa)是偶函数函数 yf(x)关于直线 xa 对称；yf(xa)是奇函数函数 yf(x)关于(a,0)对称5已知函数 f(x)为定
12、义在 R 上的奇函数，当 x0 时，有 f(x3)f(x)，且当 x(0,3)时，f(x)x1，则 f(2 017)f(2 018)()A3 B2C1 D0解析：因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(2 017)f(2 017)，因为当 x0 时，有 f(x3)f(x)，所以 f(x6)f(x3)f(x)，所以 f(x)的周期为 6.又当 x(0,3)时，f(x)x1，所以 f(2 017)f(33661)f(1)2，f(2 018)f(33662)f(2)3，故 f(2 017)f(2 018)f(2 017)3231.故选 C.答案：C6(2017成都检测)已知函数 f(x)的定义域为 R，当 x2,2时，f(x)单调递减，且函数 f(x2)为偶函数则下列结论正确的是()Af()f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf(2)f(3)f()Df(2)f()f(3)解析：因为函数 f(x2)为偶函数，所以函数 f(x)的图象关于直线 x2 对称，又当 x2,2时，f(x)单调递减，所以当 x2,6时，f(x)单调递增，f(2)f(4 2)，因为 24 23，所以f(2)f(3)f()答案：C
