1、2.1数列2.1.1数列学 习 目 标核 心 素 养1.理解数列的概念(重点)2掌握数列的通项公式及应用(难点)3能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(易错点)1.通过数列概念的学习，培养学生的数学抽象的素养2通过数列通项公式的学习，提升学生的逻辑推理的数学素养.1数列的概念及一般形式思考：数列的项与项数一样吗？提示不一样2数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
2、3数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式思考：数列一定有通项公式吗？提示不一定4数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：定义域正整数集N(或它的有限子集1,2,3，n)解析式数列的通项公式值域自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法思考：数列所对应的图象是连续的吗？提示不连续1已知数列an的通项公式为an，那么是它的()A第4项B第5项C第6项D第7项A设是数列中的第n项，则，解得n4或n5.5N，n5应舍去，故n4.
3、2下列四个数中，哪个是数列n(n1)中的一项()A380B392C321D232A因为1920380，所以380是数列n(n1)中的第19项应选A3下列说法正确的是_(填序号)0,1,2,3,4,5是有穷数列；从小到大的自然数构成一个无穷递增数列；数列1,2,3,4，2n是无穷数列因为0,1,2,3,4,5是集合，而不是数列，所以错误；正确；数列1,2,3,4，2n共有2n项，是有穷数列，所以错误数列的概念及分类【例1】已知下列数列：2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016；1，；1，；1,0，1，sin，；2,4,8,16,32，；1，1，1，1.其中，有穷数列
4、是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号)思路探究紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列及摆动数列的定义求解解析为有穷数列且为递增数列；为无穷、递减数列；为无穷、摆动数列；是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；为递增数列，也是无穷数列；为有穷数列，也是常数列答案1与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集
5、合中的元素没有顺序(即无序性)；数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物2判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限1给出下列数列：20112018年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.无穷多个构成数列， ， ， ，.2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，构成数列2,4，8,16，32，.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，常数列是_，摆动数列是_为有穷数列；是无穷数列，同时也是递增数列；为常数
6、列；为摆动数列由数列的前几项求通项公式【例2】写出下列数列的一个通项公式：(1)，2，8，；(2)9,99,999,9 999，；(3)，；(4)，.思路探究先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式解(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以，它的一个通项公式为an(nN)(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an10n1(nN)(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n1表示；分子的前一部分是从2
7、开始的自然数的平方，可用(n1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an(nN)(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an(1)n(nN)1根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等，并对此进行归纳、联想2观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(1)
8、n或(1)n1来调整2写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)1，3,5，7,9，；(3)1，2，3，4，；(4)1,11,111,1 111，.解(1)观察数列中的数，可以看到011,341,891,15161,24251，所以它的一个通项公式是ann21(nN)(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(nN)(3)此数列的整数部分为1,2,3,4，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为ann(nN)(4)原数列的各项可变为9，99，99
9、9，9 999，易知数列9,99,999,9 999，的一个通项公式为an10n1.所以原数列的一个通项公式为an(10n1)(nN)数列的通项公式的意义探究问题1数列，的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？是否为该数列中的一项？为什么？提示由数列各项的特点可归纳出其通项公式为an，当n7时，a7，若为该数列中的一项，则，解得n8，所以是该数列中的第8项2已知数列an的通项公式为ann22n1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项提示由数列与函数的关系可知，数列an的图象是分布在二次函数yx22x1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，
10、且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项【例3】已知函数f(x)x.数列an满足f(an)2n，且an0.(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列an的增减性思路探究先根据已知条件解方程求an，再利用作差法或作商法判断数列an的增减性解(1)f(x)x，f(an)2n，an2n，即a2nan10，解得ann，an0，ann.(2)法一(作差法)an1an(n1)(n)111，又n1，n，1.an1an0，即an10，1.an10，an1an.数列an是递增数列1本节课的重点是数列的概念、通项公式以及数列通项公式的求法难点是根据数列的若干项写出数列的一个通项公式2要掌握由数列的前几项写出数列
11、的一个通项公式的方法以及由数列的通项公式求项或判断一个数是否为数列中的某一项的方法3要注意以下两个易错点：(1)并非所有的数列都能写出它的通项公式，例如，的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，它没有通项公式(2)如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)1,7,0,11，3，1 000不构成数列()(2)an与an是一样的，都表示数列()(3)数列1,0,1,0,1,0，是常数列()(4)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列()解析(1).因为只要按一定次序排成的一列数就是一个数列，所以1,
12、7,0,11，3，1 000是一个数列(2).因为an代表一个数列，而an只是这个数列中的第n项，故an与an是不一样的(3).因为各项相等的数列为常数列，而1,0,1,0,1,0，为摆动数列，而非常数列(4).两个数列只有项完全相同，且排列的次序也完全相同才称为同一个数列，数列1,2,3,4与1,2,4,3虽然所含项相同，但各项排列次序不同，故不是同一个数列答案(1)(2)(3)(4)2已知数列an的通项公式为an，则该数列的前4项依次为()A1,0,1,0B0,1,0,1C，0，0D2,0,2,0A当n分别等于1,2,3,4时，a11，a20，a31，a40.3数列an满足anlog2(n23)2，则log23是这个数列的第_项3令anlog2(n23)2log23，解得n3.4已知数列an的通项公式为an3n228n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由解(1)an3n228n，a434228464，a636228660.(2)令3n228n49，即3n228n490，n7或n(舍)49是该数列的第7项，即a749.令3n228n68，即3n228n680，n2或n.2N，N，68不是该数列的项
