1、课时跟踪检测(十一)基本不等式的应用A级基础巩固1若0ab，且ab1，则下列四个数中最大的是()A.Ba2b2C2ab Da解析：选B0ab，且ab1，a.a2b2(ab)22ab(ab)22.a2b22ab(ab)20，a2b2最大2某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()Ax BxCx Dx解析：选B由条件知A(1a)(1b)A(1x)2，所以(1x)2(1a)(1b)，所以1x1，故x.3某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计)，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是()A4.6
2、m B4.8 mC5 m D5.2 m解析：选C设直角三角形两直角边长分别为x m，y m，则xy1，即xy2.周长lxy2224.83(m)，当且仅当xy时等号成立结合实际问题，可知选C.4若4x1，则()A有最小值1B有最大值1C有最小值1 D有最大值1解析：选D.又4x1，x10.(x1)0.原式1，当且仅当x1，即x0时等号成立5(多选)若x0，y0且xy4，则下列不等式中恒成立的是()A. B1C.2 D1解析：选BC若x0，y0，由xy4，得，故A错误；(xy)(22)1，当且仅当xy2时，等号成立，故B正确；因为x0，y0，xy4，且xy2，所以2，故C正确；因为2，所以xy4，
3、所以，当且仅当xy2时，等号成立，所以D错误6设x0，y0，x2y5，则的最小值为_解析：2224，当且仅当xy3，x2y5，即x3，y1或x2，y时等号成立故所求的最小值为4.答案：47已知x0，y0，且满足1，则xy的最大值为_，取得最大值时y的值为_解析：因为x0，y0，且12，所以xy3.当且仅当，即x，y2时取等号答案：328为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mgL1)随时间t(单位：h)的变化关系为C，则经过_h后池水中该药品的浓度达到最大解析：C.因为t0，所以t2 4.所以C5，当且仅当t，即t2时，C取得最大值答案：29已知x，y，z
4、为正数且满足x2y3z0，求的最小值解：由x2y3z0，得y.因为x，y，z为正数，所以3，当且仅当x3z时，等号成立所以的最小值为3.10.志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AECE，ABAD，矩形的周长为8 cm.(1)设ABx cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；(2)计划在ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽解：(1)由题意可得AD(4x)cm，且x4x0，可得2x4.则CEAExDE，在RtADE中，AE2AD2DE2，即(xDE)2(4x)2DE2，化简得DE4(2x4)(2)SADEA
5、DDE(4x)22128，当且仅当x2时取等号，此时4x42，即队徽的长和宽分别为2 cm，(42)cm时，ADE的面积取得最大值B级综合运用11(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的是()A(1，4) B(6，8)C(7，12) D解析：选AC设矩形的边长分别为x，y，则xyl，Sxy.对于A，(1，4)，则xy2，xy1，根据基本不等式得xy，符合题意；对于B，(6，8)，则xy4，xy6，根据基本不等式得xy，不符合题意；对于C，(7，12)，则xy6，xy7，根据基本不等式得xy，符合题意；对于D，则xy，xy3，根据基本不等式得xy，不符合题意
6、故选A、C.12(2021无锡市高一月考)已知a，b，c满足当abc时，不等式0恒成立，则的取值范围是()A0 B1C4解析：选C由题意知，原不等式可变形为(ac)(ab)(bc)11，而114(当且仅当(ab)2(bc)2时等号成立)，则4.故选C.13(2021泰州高一月考)“勾股容方”问题出自我国汉代数学名著九章算术，该问题可以被描述为：“设一直角三角形(如图)的两直角边长分别为a和b，求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长”，公元263年，数学家刘徽为九章算术作注，在注中他利用出入相补原理给出了上述问题如图和图所示的解答，则图中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为_，当
7、内接正方形的面积为1时，则图中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为_解析：设内接正方形的边长为x，则图的面积为ab，图的面积为(ab) x，因为图和图的面积相等，则有ab(ab)x，解得x，故内接正方形的边长为.因为内接正方形的面积为1，所以内接正方形的边长x1，则有abab，利用基本不等式可得，abab2，故ab4，当且仅当ab2时取等号，所以两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和为ab22，故图中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为2.答案：214已知a，b为正实数，且2.(1)求a2b2的最小值；(2)若(ab
8、)24(ab)3，求ab的值解：(1)因为a，b为正实数，且2，所以22，即ab(当且仅当ab时等号成立)因为a2b22ab21(当且仅当ab时等号成立)，所以a2b2的最小值为1.(2)因为2，所以ab2ab.因为(ab)24(ab)3，所以(ab)24ab4(ab)3，即(2ab)24ab4(ab)3，即(ab)22ab10，(ab1)20.因为a，b为正实数，所以ab1. C级拓展探究152020年1月， 在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中，武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施，迅速启动“方舱医院”建设某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心(长方体状，高度恒定)改造成方舱医院，
9、假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元问：(1)改造后方舱医院的面积S的最大值是多少？(2)为使S达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长？解：(1)设正面复合板长为x m，侧面长为y m，总造价为z元，则方舱医院的面积Sxy，总造价z40x245y20xy40x90y20xy.由条件知z188 000，即4x9y2xy18 800.x0，y0，y.令t92x，则x(t9)，Sxy9 41829 41823979 4188 836，当且仅当t，即t291时等号成立故S的最大值为8 836 m2.(2)由(1)知，当S8 836 m2时，t291，t92x，x141，则y.方舱医院的面积S达到最大值8 836 m2，实际造价又不超过预算时，正面复合板的长应设计为141 m.6
