1、4.3等比数列4.3.1等比数列的概念4.3.2等比数列的通项公式第1课时等比数列的概念及通项公式学 习 任 务核 心 素 养1理解等比数列的概念(重点)2掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点)3熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)1通过对等比数列的通项公式的学习及应用，培养数学运算素养2借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养传说，波斯国王第一次玩国际象棋就被深深地迷住了，他下令要奖赏国际象棋的发明者，并让受奖者自己提出奖些什么发明者指着国际象棋的棋盘对国王说，令人满意的赏赐是在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8粒，按这样的规律放满64格棋
2、盘格国王反对说，这么一点点麦子算不上什么赏赐，但发明者认为如此就足够了结果弄得国王倾尽国家财力还不够支付同学们，这些麦子，怎能让国王赔上整个国家的财力？知识点1等比数列的概念文字语言一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示符号语言q(q为常数，q0，nN*)1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零()(3)常数列一定为等比数列()提示(1)错误，根据等比数列的定义，只有比
3、值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列答案(1)(2)(3)2下列数列是等比数列的是()A3，9，15，21，27B1，1.1，1.21，1.331，1.464C，D4，8，16，32，64DA、B、C均不满足定义中q，只有D满足2故选D知识点2等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an，有ana1qn1这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比3已知在数列an中，a12，an12an，则a3_8由an12an知an为等比数列，q2又a12，a32228知
4、识点3等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为anqn，而yqx(q1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数yqx的图象上的孤立点 类型1等比数列通项公式的基本运算【例1】已知等比数列an(1)若a42，a78，求an；(2)若a2a518，a3a69，an1，求n解设等比数列an首项为a1，公比为q(1)法一：因为所以由得q34，从而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn12法二：因为a7a4q3，所以q34，q所以ana4qn42()n42(2)法一：因为由得q，从而a132，又an1，321即26n20，所以n6法二：因为a3a6
5、q(a2a5)，所以q由a1qa1q418，知a132由ana1qn11，知n61等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解2关于a1和q的求法通常有以下两种方法(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算跟进训练1已知等比数列an (1)若an128，a14，q2，求n；(2)若an625，n4，q5，求a1；(3)若a12，a38，
6、求公比q和通项公式解(1)ana1qn1128，a14，q2，42n1128，2n132，n15，n6(2)ana1qn1625，n4，q5，a15(3)a3a1q2，即82q2，q24，q2当q2时，ana1qn122n12n，当q2时，ana1qn12(2)n1(1)n12n，数列an的公比q为2或2，对应的通项公式为an2n或an(1)n12n 类型2等比数列的判断与证明【例2】已知数列的前n项和为Sn2na，试判断an是否是等比数列1 如何由Sn2na得到an?提示利用anSnSn12若数列an是等比数列，易知有q(q为常数，且q0)或aanan2(an0，nN*)成立反之，能说明数列
7、an是等比数列吗？提示能若数列an满足q(q为常数，q0)或aanan2(an0，nN*)都能说明an是等比数列解anSnSn12na2n1a2n1(n2)当n2时，2；当n1时，故当a1时，数列an成等比数列，其首项为1，公比为2；当a1时，数列an不是等比数列1(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn2na”变为“a12，an14an3n1，(nN*)”(1)证明：数列ann是等比数列；(2)求出an的通项公式解(1)证明：由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*因为a1110，所以ann0，所以4，所以数列ann是首项为1，公比为4的等比数列(2)由(1)，可知ann4n
8、1，于是数列an的通项公式为an4n1n2(变条件)将例题中的条件“Sn2na”变为“Sn2an”求证：数列an是等比数列证明Sn2an，Sn12an1，an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1，an1an又S12a1，a110又由an1an知an0，an是等比数列有关等比数列的判断证明方法定义法q(q为常数且不为零，nN*)an为等比数列中项公式法aanan2(nN*且an0)an为等比数列通项公式法ana1qn1(a10且q0)an为等比数列 类型3等比数列定义与通项公式的综合应用【例3】在各项均为负数的数列an中，已知2an3an1(nN*)，且a2a5(1)求证：an是等比数列
9、，并求出其通项；(2)试问是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由解(1)证明：2an3an1，又数列an的各项均为负数，a10，数列an是以为公比的等比数列ana1qn1a1a2a1a1，a5a1a1，又a2a5a1a1，a又a10，a1an (nN*)(2)令an，则n24，n6N*，是这个等比数列中的项，且是第6项(1)已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解.(2)由递推关系an1AanB(A，B为常数，且A0，A1)求an时，由待定系数法设an1A(an)，可得，这样就构造了等比数列an.跟进训练2设关于x的二次方程anx2a
10、n1x10(n1，2，3，)有两根和，且满足6263(1)试用an表示an1；(2)求证：是等比数列；(3)当a1时，求数列an的通项公式及项的最值解(1)根据根与系数的关系，得代入题设条件6()23，得3所以an1an(2)证明：因为an1an，所以an1若an，则方程anx2an1x10，可化为x2x10，即2x22x30此时(2)24230，所以an，即an0所以数列是以为公比的等比数列(3)当a1时， a1，所以数列是首项为，公比为的等比数列所以an，所以an，n1，2，3，即数列an的通项公式为an，n1，2，3，由函数y在(0，)上单调递减知当n1时，an的值最大，即最大值为a11
11、根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是()AannBanCan2nDanlog2nC只有C具备ancqn的形式，故应选C2等比数列x，3x3，6x6，的第四项等于()A24B0C12D24A由x，3x3，6x6成等比数列，知(3x3)2x(6x6)，解得x3或x1(舍去)所以此等比数列的前三项为3，6，12故第四项为24，故选A3在等比数列an中，已知a10，8a2a50，则数列an为_数列(填“递增”或“递减”)递增由8a2a50，可知q38，解得q2又a10，所以数列an为递增数列4在等比数列an中，若公比q4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an_4n1由题意知a14a116a121，解得a11，所以通项公式an4n15已知an为等比数列，且a58，a72，该数列的各项都为正数，求an解由a5a7知等比数列an的公比q1，设其通项公式为ancqn由已知得解得q2，an0，an256回顾本节知识，自我完成以下问题：1等比数列的定义与通项公式是什么？提示如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，其通项公式为ana1qn12判断一个数列是等比数列的方法有哪些？提示(1)定义法：利用q(q为常数且不为零，nN*)；(2)中项公式法：利用aanan2(nN*且an0)；(3)通项公式法：利用ana1qn1(a10且q0)