1、1.2直线的方程1.2.1直线的点斜式方程学 习 任 务核 心 素 养1了解直线方程的点斜式的推导过程(难点)2掌握直线方程的点斜式并会应用(重点)3掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念(重点、易错点)通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置能确定吗？知识点1直线的点斜式方程和斜截式方程点斜式斜截式已知条件点P(x1，y1)和斜率k斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程形式yy1k(xx1)y
2、kxb适用条件斜率存在直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？提示不能有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线()(2)k与yy1k(xx1)都是直线的点斜式方程()答案(1)(2)2直线l的点斜式方程是y23(x1)，则直线l的斜率是()A2B1C3D3C由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是33直线1在y轴上的截距是()A|b|Bb2Cb2DbB令x0，则yb2知识点2直线在y轴上的截距在直线l的斜截式方程ykxb中，我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b称
3、为直线l在y轴上的截距4过点(2，1)且与斜率为3的直线的点斜式方程为_y13(x2)因为直线的斜率为3，所求直线方程的点斜式方程为y13(x2) 类型1直线的点斜式方程【例1】(1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45，则这条直线的点斜式方程为_(2)经过点(5，2)且平行于y轴的直线方程为_(1)y5x2(2)x5(1)因为倾斜角为45，所以斜率ktan 451，所以直线的点斜式方程为y5x2(2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x5求直线的点斜式方程的步骤提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为xx0跟
4、进训练1分别求出经过点P(3，4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形(1)斜率k2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直解(1)由点斜式方程得y42(x3)(2)与x轴平行时，k0，y40(x3)，即y4(3)与x轴垂直，斜率不存在，方程为x3 类型2直线的斜截式方程【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3解(1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y2x5(2)因为倾斜角150，所以斜率ktan 150，由斜截式可得直线方程为yx2(3)因为直线的倾斜角为6
5、0，所以斜率ktan 60因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b3或b3，故所求直线的斜截式方程为yx3或yx3求直线的斜截式方程(1)先求参数k和b，再写出斜截式方程(2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率(3)b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离跟进训练2已知直线l在y轴上的截距为2，根据条件，分别写出直线l的斜截式方程(1)直线l经过点M(m，n)，N(n，m)(mn)；(2)直线l与坐标轴围成等腰三角形解(1)由题意得直线l的斜率为k1，所以直线l的斜截式方程为yx2(2)因为直线l在
6、y轴上的截距为2，所以l与y轴的交点为P(0，2)，而直线l与坐标轴围成等腰三角形，又是直角三角形，所以l与x轴的交点坐标为(2，0)或(2，0)由过两点的斜率公式得k1或1，所以直线l的斜截式方程为yx2或yx2 类型3直线的方程的简单应用【例3】已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程直线yy1k(xx1)与x轴和y轴的交点坐标分别是什么？提示令x0时，得yy1kx1，所以直线yy1k(xx1)与y轴的交点坐标是(0，y1kx1)；令y0，得xx1，所以直线yy1k(xx1)与x轴的交点坐标是(x1，0).解设直线方程为yxb，则x0时，yb；y0时，x6b由
7、已知可得|b|6b|3，即6|b|26，b1故所求直线方程为yx1或yx11(变条件)本例的条件变为：已知ABC的三个顶点分别是A， B，C若直线l过点A，且将ABC分割成面积相等的两部分，求直线l的点斜式方程解由题意知：直线l是ABC在BC边上的中线，由 B，C，得B，C的中点坐标为，所以直线l的斜率k，则直线l的点斜式方程为：y(x3)2(变条件)已知直线l的倾斜角等于直线yx1的倾斜角的一半，且经过点，求直线l的点斜式方程解设直线yx1的倾斜角为，则tan ，因为直线l的倾斜角等于直线yx1的倾斜角的一半，所以直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率为tan ，由二倍角公式可得tan ，即3t
8、an28tan30，0，因为，所以，即tan0，所以tan，所以直线l的点斜式方程为：y3利用待定系数法求直线方程(1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率(2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定直线在y轴上的截距1倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是()Axy10Bxy10Cxy10Dxy10D135的斜率k1，所以方程为yx1，即xy102已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1，2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(2，1)，斜率为1C直线方程y2x1可化为y(2)x(1)，故直线经过点(1，2)，斜率
9、为13已知直线l过点A(2，1)且与直线y14x3垂直，则直线l的方程为_y1(x2)由条件可知kl，方程为y1(x2)4无论k取何值时，直线ykx2k3所过的定点是_(2，3)直线方程能化成点斜式方程：y3k(x2)，所以过定点(2，3)5直线l1过点P(1，2)，斜率为，把l1绕点P按顺时针方向旋转30角得直线l2，求直线l1和l2的方程解直线l1的方程是y2(x1)，即x3y60k1tan 1，1150如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30，得到直线l2的倾斜角为215030120，k2tan 120，l2的方程为y2(x1)，即xy20回顾本节内容，自我完成以下问题：1建立点斜式方程的依据是什么？提示直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为yy1k(xx1)才是整条直线的方程当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx12斜截式方程的标准形式及特征是什么？提示斜截式方程的标准形式是ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数(k0时)
