1、第三章3.3.3考点对应题号基础训练能力提升1.利用导数求函数的最值1,2,3,4,102.已知函数的最值求参数5,8113.与最值有关的恒成立问题9,124.导数在函数中的综合应用6,713一、选择题1函数yf(x)在区间a，b上的最大值是M，最小值是m，若Mm，则f(x)()A等于0 B大于0C小于0 D以上都有可能A解析 因为Mm，所以yf(x)是常数函数，所以y0.故选A项2函数f(x)x2x1在区间3,0上的最值为()A最大值为13，最小值为B最大值为1，最小值为4C最大值为13，最小值为1D最大值为1，最小值为7C解析 f(x)2x1，令f(x)0，得x，当xf(0)而f(3)13
2、，f(0)1.所以函数在3,0上的最大值为13，最小值为1.故选C项3函数y的最大值为()Ae1 Be Ce2 DA解析 令y0，解得xe.当xe时，y0；当0x0.所以y的极大值为.因为y在其定义域内只有一个极值，所以ymax.4函数f()sin cos2的最大值是()A B C DA解析 因为f()sin cos2sin sin3，所以f()(sin sin3)cos 3sin2cos ，令f()0，即cos 3sin2cos 0，因为00，所以sin2，所以sin ，cos2，易知f()在sin 处取得极大值，也是最大值，故函数f()的最大值是.5函数f(x)x33axa在(0,1)内有
3、最小值，则a的取值范围是()A0,1) B(0,1)C(1,1) DB解析 f(x)3x23a，若a0，可得f(x)0，f(x)在(0,1)内单调递增，f(x)在(0,1)内有最小值，显然不可能若a0，f(x)0解得x.当x时，f(x)为增函数，当0x时，f(x)为减函数，故f(x)在x处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应在(0,1)内，符合要求综上所述，a的取值范围为(0,1)故选B项6对于函数f(x)x33x2，给出下列命题：f(x)是增函数，无最值；f(x)是减函数，无最值；f(x)的递增区间为(，0)和(2，)，递减区间为(0,2)；f(0)0是最大值，f(2)4是最小值其中正确的
4、有()A1个 B2个 C3个 D4个A解析 f(x)3x26x，令f(x)3x26x0，得x2或x0；令f(x)3x26x0，得0x2，所以函数f(x)在区间(，0)和(2，)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减，当x0和x2时，函数分别取得极大值0和极小值4，但在整个定义域上无最值二、填空题7函数yx2cos x在上取得最大值时，x的值为_.解析 y(x2cos x)12sin x.令12sin x0且x，解得x.当x时，y0，函数yx2cos x单调递增；当x时，y0，函数yx2cos x单调递减；所以当x时取得最大值答案 8已知f(x)x33x2a(a为常数)在3,3上有最小值3，那么
5、在3,3上f(x)的最大值是_解析 f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2，f(3)a，f(2)4a，f(0)a，f(3)54a，因为f(x)在3,3上有最小值3，所以a3，所以f(x)在3,3上的最大值是f(3)54a57.答案 579已知函数f(x)x3x对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围是_解析 函数f(x)x3x在R上是奇函数且为增函数，又f(mx2)f(x)0，所以f(mx2)f(x)f(x)，所以mx2x在m2,2上恒成立，即(m1)x20在m2,2上恒成立令g(m)(m1)x2，只需即解得2x.所以x的取值范围是.答案 三、解答题10求函数f(
6、x)x33x在上的最大值和最小值解析 f(x)3(x1)(x1)令f(x)0，得x1或x1.又因为f(3)18，f(1)2，f(1)2，f，所以当x3时，f(x)min18，当x1时，f(x)max2.11已知函数f(x)ax36ax2b.若f(x)在1,2上取得最大值3，最小值29，试求a，b的值解析 f(x)3ax212ax3ax(x4)令f(x)0，得x10，x24(舍去)当a0时，x，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x1,0)0(0,2f(x)0f(x)单调递增极大值b单调递减从表中易知，这个极大值就是f(x)在1,2上的最大值，所以，当x0时，f(x)取最大值f(0)b3.又f(
7、1)7a3，f(2)16a3，f(1)f(2)，即当x2时，f(x)取最小值f(2)16a329，得a2.当a0时，x，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x1,0)0(0,2f(x)0f(x)单调递减极小值b单调递增从表中可知，这个极小值就是f(x)在1,2上的最小值，所以，当x0时，f(x)取最小值f(0)b29.又f(1)7a29，f(2)16a29，f(2)f(1)，即当x2时，f(x)取最大值f(2)16a293，得a2.综上所述，a2，b3或a2，b29.12设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0
8、成立解析 (1)由题设知f(x)，g(x)ln x，所以g(x).令g(x)0，得x1.当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调递增区间因此x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)g(x)0成立g(a)1，即ln a1，得0ae，所以实数a的取值范围为(0，e)四、选做题13已知函数f(x)ax3ln x，其中a为常数(1)若函数f(x)的图象在点处的切线与直线xy20垂直，求函数f(x)在区间上的值域；(2)若函数f(x)在区间1，)上单调递减，求实数a的取值范围解析 (1
9、)函数f(x)ax3ln x的定义域是(0，)，f(x)a.由题意可知f1，即a1，解得a1，所以f(x)x3ln x，所以f(x).由f(x)0，得x2或x1(舍去)当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表.x2(2,3)3f(x)0f(x)3ln单调递减13ln 2单调递增3ln 3所以函数f(x)在区间上的值域为.(2)f(x)a，由题意得ax23x20在1，)上恒成立设h(x)ax23x2，当a0时，令h(x)3x20，则x，显然成立；当a0时，h(x)在1，)上单调递减，所以h(x)ax23x2在x1处取得最大值，令h(1)a123120，得a1，所以此时a0时，显然不成立综上，实数a的取值范围是(，0