1、第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法正确的有()演绎推理是由一般到特殊的推理;演绎推理得到的结论一定是正确的;演绎推理的一般模式是“三段论”形式;演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确,故错误,其他都正确.故选C.答案:C2.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b平面,a平面,直线b平面,则直线b直线a”,这显
2、然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误解析:“直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选A.答案:A3.(1)已知p3+q3=2,求证:p+q2.用反证法证明此命题时可假设p+q2;(2)已知a,bR,|a|+|b|2”;对命题(2),其结论的反面为“方程x2+ax+b=0的两根的绝对值至少有一个大于或等于1”.故选D.答案:D4.如图,4只小动物换座位,开始时鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号座位,如果第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位,第4次左右列动物互换座位,这样交
3、替进行下去,那么第2 017次互换座位后,小兔所坐的座位号为()A.1B.2C.3D.4解析:由题意得第4次互换座位后,4只小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,而2 017=4504+1,所以第2 017次互换座位后结果与第1次互换座位结果相同,故小兔坐在1号座位上,故选A.答案:A5.若f0(x)=sin x,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN*,则f2 019(x)等于()A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x解析:由题意可知,函数fn(x)的表达式是呈周期性变化的,周期为4,而2 019=45
4、04+3,故f2 019(x)=f3(x)=-cos x,故选D.答案:D6.观察式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,则可归纳出一般式子为()A.1+122+132+1n212n-1(n2,nN)B.1+122+132+1n22n+1n(n2,nN)C.1+122+132+1n22n-1n(n2,nN)D.1+122+132+1n20,结合余弦定理可解决问题.证明要证明角B为锐角,只需证cos B0.又因为cos B=a2+c2-b22ac,所以只需证明a2+c2-b20,即a2+c2b2.因为a2+c22ac,所以只需证明2acb2.由已知,得2b=
5、1a+1c,即2ac=b(a+c).所以只需证明b(a+c)b2,即只需证明a+cb.而已知a,b,c为ABC的三边,即a+cb成立,所以角B为锐角.18.(9分)设an,bn是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列cn不是等比数列.分析:假设数列cn是等比数列,利用an,bn是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立.证明假设数列cn是等比数列,则当n2时,(an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1).因为an,bn是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以an2=an-1an+1,bn2=bn-1bn+1.代入并整理,得2anbn=an+
6、1bn-1+an-1bn+1=anbnpq+qp,即2=pq+qp.当p,q异号时,pq+qp2,与相矛盾.因此假设错误.故数列cn不是等比数列.19.(10分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,短轴的一个端点为M(0,1),直线l:y=kx-13与椭圆相交于不同的两点A,B.(1)若|AB|=4269,求k的值;(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.(1)解由题意知ca=22,b=1.由a2=b2+c2可得c=b=1,a=2,所以椭圆的方程为x22+y2=1.由y=kx-13,x22+y2=1,消去y得(2k2+1)x2-43kx-169=0.=169k2
7、-4(2k2+1)-169=16k2+6490恒成立.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k3(2k2+1),x1x2=-169(2k2+1).所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=4(1+k2)(9k2+4)3(2k2+1)=4269,化简得23k4-13k2-10=0,即(k2-1)(23k2+10)=0,解得k=1.(2)证明因为MA=(x1,y1-1),MB=(x2,y2-1),所以MAMB=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2-43k(x1+x2)+169=-16(1+k2)9(2k2+1)-16k29(2k
8、2+1)+169=0.所以不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.20.(10分)已知数列an的各项均为正数,bn=n1+1nnan(nN*),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x-ex的单调区间,并比较1+1nn与e的大小;(2)计算b1a1,b1b2a1a2,b1b2b3a1a2a3,由此推测计算b1b2bna1a2an的公式,并给出证明;(3)令cn=(a1a2an)1n,数列an,cn的前n项和分别记为Sn,Tn,证明:Tn0,即x0时,f(x)单调递增;当f(x)0时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(-,0),单调递减区间为(0,+).当x0时,f(x)f(
9、0)=0,即1+xex.令x=1n,得1+1ne1n,即1+1nne.(2)解b1a1=11+111=1+1=2;b1b2a1a2=b1a1b2a2=221+122=(2+1)2=32;b1b2b3a1a2a3=b1b2a1a2b3a3=3231+133=(3+1)3=43.由此推测:b1b2bna1a2an=(n+1)n.下面用数学归纳法证明.()当n=1时,左边=右边=2,成立.()假设当n=k时,成立,即b1b2bka1a2ak=(k+1)k.则当n=k+1时,bk+1=(k+1)1+1k+1k+1ak+1,由归纳假设可得b1b2bkbk+1a1a2akak+1=b1b2bka1a2ak
10、bk+1ak+1=(k+1)k(k+1)1+1k+1k+1=(k+2)k+1.所以当n=k+1时,也成立.由()(),可知对一切正整数n都成立.(3)证明由cn的定义、算术-几何平均值不等式、bn的定义及得Tn=c1+c2+c3+cn=(a1)11+(a1a2)12+(a1a2a3)13+(a1a2an)1n=(b1)112+(b1b2)123+(b1b2b3)134+(b1b2bn)1nn+1b112+b1+b223+b1+b2+b334+b1+b2+bnn(n+1)=b1112+123+1n(n+1)+b2123+134+1n(n+1)+bn1n(n+1)=b11-1n+1+b212-1n+1+bn1n-1n+1b11+b22+bnn=1+111a1+1+122a2+1+1nnanea1+ea2+ean=eSn,即TneSn.
