1、最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.第5讲 椭圆1椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_这两定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫做椭圆的_集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若_，则集合P为椭圆；(2)若_，则集合P为线段；(3)若_，则集合P为空集知 识 梳 理椭圆焦点焦距acacac2椭圆的标准方程和几何性质标准方程(ab0)(ab0)图形 x2a2y2b21y2a2x2b21性质 范围 ax
2、a byb bxb aya 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴 长轴A1A2的长为_；短轴B1B2的长为_ 焦距|F1F2|_ 离心率 e_ a，b，c的关系 c2_ 2a2b2cca(0，1)a2b2 1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(3)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(4)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成
3、PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()诊 断 自 测答案 A2(2014大纲全国卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为()A.x23 y221 B.x23 y21C.x212y281 D.x212y241解析 由椭圆的定义可知AF1B 的周长为 4a，所以 4a4 3，故 a 3，又由 eca 33，得 c1，所以 b2a2c22，则 C 的方程为x23 y221，故选 A.答案 D3设椭圆 C：x2a2y2b21(
4、ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为()A.36B.13C.12D.33解析 在 RtPF2F1 中，令|PF2|1，因为PF1F230，所以|PF1|2，|F1F2|3.故 e2c2a|F1F2|PF1|PF2|33.故选 D.4如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_答案(0，1)解析 将椭圆方程化为x22 y22k1，焦点在 y 轴上，则2k2，即 k0，所以 0k1.5(人教 A 选修 21P49A6 改编)已知点 P 是椭圆x25 y241上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F
5、1，F2 为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_解析 设 P(x，y)，由题意知 c2a2b2541，所以 c1，则 F1(1，0)，F2(1，0)，由题意可得点 P 到x 轴的距离为 1，所以 y1，把 y1 代入x25 y241，得 x 152，又 x0，所以 x 152，P 点坐标为152，1或152，1.答案 152，1 或152，1考点一 椭圆的定义及其应用【例1】(1)(2015枣庄模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆(
6、2)已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且PF1PF2.若PF1F2的面积为 9，则 b_解析(1)由条件知|PM|PF|.|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2.|PF1|PF2|2b2，b3.答案(1)A(2)3(2)由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a，PF1PF2，SPF1F212|PF1|PF2|122b2b29.规律方法 椭圆定义的应用主要有两个方面：
7、一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等A6 B5C4 D3(2)(2015保定一模)与圆C1：(x3)2y21外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_【训练 1】(1)(2015丽水模拟)已知 F1，F2 是椭圆x216y291的两焦点，过点 F2 的直线交椭圆于 A，B 两点，在AF1B中，若有两边之和是 10，则第三边的长度为()两式相加得|AB|AF1|BF1|16，即AF1B周长为16，又因
8、为在AF1B中，有两边之和是10，所以第三边长度为16106.选A.(2)设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，即P在以C1(3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，解析(1)由椭圆定义知，|AF1|AF2|8，|BF1|BF2|8，得点 P 的轨迹方程为x225y2161.答案(1)A(2)x225y2161考点二 求椭圆的标准方程 (3)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为_【例 2】(1)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦
9、点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于A，B 两点，且ABF2 的周长为 16，那么椭圆 C 的方程为_(2)(2014安徽卷)设 F1，F2分别是椭圆 E：x2y2b21(0bb0)，由 e 22，知ca22，故b2a212.由于ABF2 的周长为|AB|BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a16，故 a4.b28，椭圆 C 的方程为x216y281.(2)设点A在点B上方，F1(c，0)，F2(c，0)，其中c 1b2，则可设 A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|3|F1B|，可得AF13F1B，故2c3（x0c）
10、，b23y0，即x053c，y013b2，代入椭圆方程可得25（1b2）919b21，得 b223，故椭圆方程为 x23y22 1.深度思考 求椭圆方程除定义外一般采用待定系数法本例第(3)小题可有两种方法：一是分类，二是不分类，关键在于方程的设法上，不妨一试(3)法一 若椭圆的焦点在 x 轴上，设方程为x2a2y2b21(ab0)由题意得2a32b，9a2 0b21，解得a3，b1.所以椭圆的标准方程为x29 y21.若焦点在 y 轴上，设方程为y2a2x2b21(ab0)由题意得2a32b，0a2 9b21，解得a9，b3.所以椭圆的标准方程为y281x29 1.综上所述，椭圆的标准方程为
11、x29 y21 或y281x29 1.法二 设椭圆的方程为x2my2n1(m0，n0，mn)，则由题意知9m1，2 m32 n或9m1，2 n32 m，规律方法 根据条件求椭圆方程常用的主要方法是定义法和待定系数法定义法的要点是根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.解得m9，n1或m9，n81.椭圆的标准方程为x29 y21 或y281x29 1.答案(1)x216y281(2)x23y22 1(3)x29 y21 或y281x29 1【训练2】求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆x24 y231 有相同的离心率且
12、经过点(2，3)；(2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5，3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点32，52，3，5.解(1)由题意，设所求椭圆的方程为x24 y23t1 或y24x23t2(t1，t20)，椭圆过点(2，3)，t1224（3）232，或 t2（3）24223 2512.故所求椭圆标准方程为x28 y261 或y2253x22541.(2)由于焦点的位置不确定，设所求的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)，由已知条件得2a53，（2c）25232，解得 a4，c2，b212.故椭圆方
13、程为x216y2121 或y216x2121.(3)设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)，由322m522n1，3m5n1，解得 m16，n 110.椭圆方程为y210 x26 1.考点三 椭圆的几何性质【例 3】(1)(2014江西卷)过点 M(1，1)作斜率为12的直线与椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)相交于 A，B 两点，若 M是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_(2)(2014包头测试与评估)已知椭圆x2a2y2b21 的左顶点为 A，左焦点为 F，点 P 为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为 2，离心率 e12，则APFP的取值范围是_ 解析(
14、1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A，B在椭圆上，x21a2y21b21，x22a2y22b21，则有x21x22a2y21y22b20，（x1x2）（x1x2）a2（y1y2）（y1y2）b20，由题意知 x1x22，y1y22，y1y2x1x212，所以 2a2122b20，a22b2，e 22.(2)因为椭圆的上顶点到焦点的距离为 2，所以 a2.因为离心率 e12，所以 c1，b a2c2 3，则椭圆方程为x24 y231，所以 A 点的坐标为(2，0)，F 点的坐标为(1，0)设P(x，y)，则APFP(x2，y)(x1，y)x23x2y2.由椭圆方程得 y2334x2，所
15、以APFP x23x34x2514(x6)24，因为 x2，2，所以APFP0，12答案(1)22 (2)0，12规律方法(1)求椭圆的离心率的方法：直接求出a，c来求解e.通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；通过取特殊值或特殊位置，求出离心率(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb，0e1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系【训练 3】已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P 为 C1 上任一点，MN 是圆
16、 C2：x2(y3)21 的一条直径，与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 3 2的直线 l 恰好与圆 C2 相切(1)求椭圆 C1 的离心率；(2)若PM PN 的最大值为 49，求椭圆 C1 的方程解(1)由题意可知，直线 l 的方程为 bxcy(3 2)c0，因为直线 l 与圆 C2：x2(y3)21 相切，所以 d|3c3c 2c|b2c21，化简得 c2b2，即 a22c2，从而 e 22.(2)设 P(x，y)，圆 C2 的圆心记为 C2(0，3)，则 x22c2y2c21(c0)，又因为PM PN(PC2C2M)(PC2C2N)(PC2 C2N)(PC2 C2N)PC 22C2N
17、 2x2(y3)21(y3)22c217(cyc)当c3时，(PM PN)max172c249，解得 c4，此时椭圆方程为x232y2161；当 0c3 时，(PM PN)max(c3)2172c249，解得 c5 23.但 c5 230，且 c5 233，故舍去综上所述，椭圆 C1 的方程为x232y2161.考点四 直线与椭圆的位置关系 (1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积【例 4】(2014四川卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F(2，0)，离心率
18、为 63.解(1)由已知可得，ca 63，c2，所以 a 6.又由 a2b2c2，解得 b 2，所以椭圆 C 的标准方程是x26 y221.直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式(2)设 T 点的坐标为(3，m)，则直线 TF 的斜率 kTFm03（2）m.当 m0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ1m，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得xmy2，x26 y221.消去 x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以 y1y2 4mm23，y1y2 2m23，x1x2m(y1y2)4
19、 12m23.因为四边形 OPTQ 是平行四边形，所以OP QT，即(x1，y1)(3x2，my2)所以x1x2 12m233，y1y2 4mm23m.解得 m1.规律方法(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单此时，S 四边形 OPTQ2SOPQ212|OF|y1y2|24mm2324 2m232 3.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式
20、大于零则|AB|（1k2）（x1x2）24x1x2 1 1k2（y1y2）24y1y2(k 为直线斜率)(1)求椭圆的方程；【训练 4】(2014陕西卷)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)(2)若直线 l：y12xm 与椭圆交于A，B 两点，与以 F1F2 为直径的圆交于 C，D 两点，且满足|AB|CD|5 34，求直线 l 的方程解(1)由题设知b 3，ca12，b2a2c2，解得 a2，b 3，c1，椭圆的方程为x24 y231.(2)由(1)知，以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2y21，圆心到直线 l
21、 的距离 d2|m|5，由 d1，得|m|52.(*)|CD|2 1d22145m2 25 54m2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y12xm，x24 y231，得 x2mxm230，由根与系数的关系可得 x1x2m，x1x2m23.|AB|1122 m24（m23）1524m2.由|AB|CD|5 34，得4m254m21，解得 m 33，满足(*)直线 l 的方程为 y12x 33 或 y12x 33.微型专题 圆锥曲线上点的对称问题 圆锥曲线上两点关于直线的对称问题是高考命题的热点，该问题集中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重
22、要数学知识和方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，难度大，对数学知识和能力的考查具有一定的深度，具有很好的选拔功能，是高考命题的热点圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程法和点差法两种解法(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由【例 5】椭圆 E 经过点 A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率 e12，其中F1AF2 的平分线所在的直线 l 的方程为 y2x1.点拨 第(1)问，依据已知条件，结合椭圆方程的性质即可求得椭圆
23、方程；第(2)问，思路一，先假设存在关于直线l对称的相异两点，设出关于直线l对称两点所在的直线方程，求得对称点的中点坐标，再代入直线l，确定对称点的中点坐标，得出矛盾；思路二，假设存在关于直线l对称的相异两点，利用点差法，求得对称点的中点横、纵坐标的关系，即可确定对称点的中点坐标，得出矛盾(2)法一(联立方程法)假设在椭圆上存在关于直线l对称的相异两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，设线段MN的中点为P(x0，y0)因为直线MN与直线l垂直，所以设直线MN的方程为解(1)设椭圆 E 的方程为x2a2y2b21(ab0)，由题意，可得22a232b21，a2b2c2，ca12，解得a4，b2
24、 3，c2，所以椭圆 E 的方程为x216y2121.y12xm，由此得 x2m2y，将其代入椭圆方程，得4y26my3m2120.因为 y1，y2 是此方程的两个根，所以 y1y23m2.所以 y012(y1y2)3m4.又点 P 在直线 x2m2y 上，所以 x02m2y0m2，所以点 P 的坐标为m2，3m4.又点 P 在直线 y2x1 上，所以3m4 2m21，解得 m4，所以点 P 的坐标为(2，3)因为点P的坐标满足椭圆方程，所以点P在椭圆上，不在椭圆内，故不存在这样的两点法二(点差法)假设在椭圆上存在关于直线l对称的相异两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，设线段MN的中点为P
25、(x0，y0)因为 M，N 两点在椭圆上，故有 3x214y2148，3x224y2248，两式相减，得 3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.又 P 为线段 MN 的中点，则有 x1x22x0，y1y22y0，所以 3x0(x1x2)4y0(y1y2)0.因为直线 l 与直线 MN 垂直，所以 x1x2.所以y1y2x1x23x04y012.所以3x02y0.又点P(x0，y0)在直线y2x1上，所以y02x01.由得点P的坐标为(2，3)，因为点P的坐标满足椭圆方程，所以点P在椭圆上，不在椭圆内，故不存在这样的两点点评 本题是一道探究椭圆上是否存在关于已知直线对称的相异两
26、点的存在性问题，既可用方程思想求解，也可用点差法解答，因为结论是不存在，所以解题的关键是找出矛盾，这个矛盾可以是线段MN的中点P在椭圆上，不在椭圆内.思想方法1椭圆定义的集合语言：PM|MF1|MF2|2a，2a|F1F2|往往是解决计算问题的关键，如果题目的条件能转化为动点到两定点距离和为常数的问题可考虑利用椭圆定义，或涉及到椭圆上的点到焦点的距离，也可考虑椭圆定义2求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2ny21(m0，n0且mn)3直线与圆锥曲线的关系问题，一般可以直接联立方程，把方程组转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解易错防范1在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根2注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2y2b21(ab0)上点的坐标为 P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
