1、3.2.2函数的奇偶性新课程标准解读核心素养1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义数学抽象2.了解奇偶函数图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用直观想象、逻辑推理第一课时奇偶性的概念生活因对称而美丽，下面的图形一定会给你美的感受吧数学上也有一些函数的图象有着类似美妙的对称性，如二次函数yx2的图象关于y轴对称，反比例函数y的图象关于原点对称问题我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象的对称性反映了函数的什么性质呢？知识点函数的奇偶性偶函数奇函数前提如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义条件F(x)F(x)F(x)F(x)定义域特征关于原点对称图象特征关于y轴对称关于原
2、点对称对函数奇偶性的再理解(1)定义域具有对称性，即xI，xI.定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数；(2)当F(x)的定义域关于原点对称时，要看F(x)与F(x)的关系特别地，若F(x)F(x)且F(x)F(x)F(x)是非奇非偶函数；若F(x)F(x)且F(x)F(x)F(x)既是奇函数又是偶函数 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)奇函数的图象一定过原点()(2)若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)0，则函数f(x)是奇函数()(3)若函数f(x)的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数，若关于原点对称，则该函数是奇函数()答案：(1)(2)(3)2下列函数是
3、偶函数的是_(填序号)yx；y2x23；y；yx2，x0，1答案：3若函数yf(x)，x1，a是奇函数，则a_答案：14若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)2，则f(3)_，f(0)_解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(3)f(3)2，f(0)0.答案：20判断函数的奇偶性例1(链接教科书第83页例4)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)f(x)的定义域为1，0)(0，1，关于原点对称f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)函数f(x)的定义域为1，1，关于原点对称，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(
4、x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(4)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(x)1(x)1xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法(2)图象法注意对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式 跟踪训练1下列四个函数中为偶函数的是()Ay2xByCyx22x Dy|x|解析：选D由题易知A为奇函数；B中，函数的定义域为x|x1，故y为非奇非偶函数；C中，f
5、(x)f(x)，f(x)f(x)，故yx22x为非奇非偶函数；D中，函数的定义域为R，f(x)|x|x|f(x)，故y|x|为偶函数2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x2(x22)；(2)f(x)解：(1)xR，关于原点对称，又f(x)(x)2(x)22x2(x22)f(x)，f(x)为偶函数(2)因函数f(x)画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数.奇偶函数的图象问题例2(链接教科书第84页习题5题)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象，如图所示(1)请补出完整函数yf(x)的图象；(2)根据
6、图象写出函数yf(x)的递增区间解(1)由题意完整函数图象如图：(2)据图可知，单调递增区间为(1，0)，(1，)1巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性；(2)作出函数在0，)(或(，0)上的图象；(3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称作出函数在(，0(或0，)上的图象2奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)应用类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式等问题；(2)处理策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察求解 跟踪训练已知奇函数f(x)的定义域为5，5，且在区间0，5上的图象如图所示(1)画出在区间5，0上的图象；(2)写出使f(x)
7、0的x的取值范围解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以yf(x)在5，5上的图象关于原点对称由yf(x)在0，5上的图象，可知它在5，0上的图象，如图所示(2)由图象知，使f(x)0的x的取值范围为(2，0)(2，5).利用函数奇偶性求参数例3(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1，2a，则a_，b_；(2)已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_解析(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.又函数f(x)x2bxb1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b0.(2)由奇函数定义有f(x)f(x)0，得a(x)22(x)ax22x2ax20，故a0
8、.答案(1)0(2)0利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数；(2)解析式含参数：根据f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解 跟踪训练1若函数f(x)2x2|3xa|为偶函数，则a()A1 B2C3 D0解析：选Df(x)2x2|3xa|为偶函数，f(x)f(x)对于任意xR都成立f(1)f(1)，即2|a3|2|a3|，解得a0.故选D.2已知函数f(x)是奇函数，则a_.解析：因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)0，即(a1)(11)0，故a1.答案：11下列函数不具备奇偶性
9、的是()Ayx ByCy Dyx22解析：选Cyx与y都是奇函数，yx22是偶函数，y的定义域为xR|x1，不关于原点对称，故y既不是奇函数也不是偶函数，故选C.2.(2021淮安一中月考)如图，给出奇函数yf(x)的部分图象，则f(2)f(1)的值为()A2 B2C1 D0解析：选Af(2)f(1)f(2)f(1)2.3判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x5；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x).解：(1)函数f(x)的定义域为R.又f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)，所以f(x)是奇函数(2)函数f(x)的定义域是R.因为f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，所以f(x)是偶函数(3)函数f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数
