1、四川省遂宁市2020届高三数学第三次诊断考试试题 理本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。第卷（选择题，满分60分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3考试结束后，将答题卡收回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1设，则“”
2、是“”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2若复数为纯虚数（为虚数单位,为实数），则的值为A B C D13某人口大县举行“只争朝夕，决战决胜脱贫攻坚扶贫知识政策答题比赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150内，其频率分布直方图如图所示，则获得复赛资格的人数为A650 B660 C680 D7004. 已知满足，则A B C D5. 方程表示的曲线的大致形状是（图中实线部分）A B C D6周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊
3、蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问谷雨日影长为A七尺五寸 B六尺五寸 C五尺五寸 D四尺五寸7. 设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，则数列的前项和的取值范围是A. B. C. D. 8. 2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐，其中空中梯队编有12个梯队，在领队机梯队、
4、预警指挥机梯队、轰炸机梯队、舰载机梯队、歼击机梯队、陆航突击梯队这6个梯队中，某学校为宣传的需要，要求甲同学需从中选3个梯队了解其组成情况，其中舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个，则不同的选法种数为A12种 B16种 C18种 D20种9. 设函数，若，则的大小关系为A BC D10. 已知正三棱柱的底面边长为，且该三棱柱外接球的表面积为，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为A B C D11. 已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的最小值为A B C D 12. 已知函数若存在使得，则实数的最大值为A B C D第卷（非选择题，满分90分）注意事项：1
5、请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作答。本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。13. 曲线在点处的切线的倾斜角为 。14已知两个单位向量、的夹角为，向量，则 。15已知点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若，则点的纵坐标为 。16. 如图，平行六面体中，则的长为 。三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）函数的部分图象如图所示
6、，又函数（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角，的对边分别为，又，且锐角满足，若，为边的中点，求的周长。18.（本小题满分12分）如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，对角线与相交于点，点在线段上，且，与底面所成角为。（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）设点在线段上，且平面，求的长。19. （本小题满分12分）某中学举行“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖的代表队人数情况如下表，其中一等奖代表队比三等奖代表队多10人。该校政教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动。并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中二等奖代表
7、队有5人（同队内男女生仍采用分层抽样）名次性别一等奖代表队二等奖代表队三等奖代表队男生？30女生302030（1）从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取人上台领奖，用表示女生上台领奖的人数，求的分布列和数学期望。（2）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生内的两个均匀随机数，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序。若电脑显示“中奖”，则代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖。求代表队队员获得奖品的概率。20.（本小题满分12分）已知函数.（1）判断函数在区间上零点的个数，并说明理由。（2）当时，比较与的大小关系，并说明理由；证明：。21.（本小题满分12分）如图，定义：以
8、椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”。过椭圆第四象限内一点作轴的垂线交其“辅助圆”于点，当点在点的下方时，称点为点的“下辅助点”。已知椭圆上的点的下辅助点为。（1）求椭圆的方程；（2）若的面积等于，求下辅助点的坐标；（3）已知直线：与椭圆交于不同的，两点，若椭圆上存在点，使得四边形是对边平行且相等的四边形。求直线与坐标轴围成的三角形面积最小时的的值。请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，将曲线方程，先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到曲线。（1）点为曲线上任意一点，写出曲线
9、的参数方程，并求出的最大值；（2）设直线l的参数方程为，（为参数），又直线与曲线的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程。23（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数， （1）解不等式；（2）当，时，若的值域为，求证：。遂宁市高中2020届三诊考试数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题（125=60分）题号123456789101112答案CDAABCDBAACB二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。13. 14. 15. 16.（选修2-1P98第3题）三、解答题：本大题共70分。17（本小题满分12分）【解
10、析】（1）由函数的部分图象可得,即,则，又函数图像过点 ，则，即，又，即，（每个值1分）即，则 4分由，得，所以函数的单调增区间为6分（少扣1分）（2）由，得，因为，所以，所以，又，由正弦定理得 8分由余弦定理，得，即由解得， 10分又，所以，所以为直角三角形，且角为直角。故，所以的周长为。 12分18（本小题满分12分）【解析】（1）因为在长方体中，有平面，所以，因为四边形是正方形，所以，又从而平面而平面，所以。 4分（2）因为在长方体中，有，两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示由(1)知为直线与平面所成的角又因为与平面所成角为，所以，所以由可知，所以，又，即，故，则，所以，设平面的法向
11、量为，则，即，令，则 7分因为平面，所以为平面的法向量，所以因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为9分（3）点是线段上一个动点，设,则，因为平面，所以，即，解得此时，点M坐标为，符合题意 12分19（本小题满分12分）【解析】(1)设代表队共有人，则，所以，设一等奖代表队男生人数为，则，解得，则一等奖代表队的男生人数为，故前排就坐的一等奖代表队有3男3女，共6人。2分则的可能取值为，。则,，所以的分布列5分 6分(2) 试验的全部结果所构成的区域为，面积为， 8分事件表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为，如图阴影部分的面积为，10分这是一个几何概型，所以。即代表队队员获得奖品的概率为。 12
12、分20（本小题满分12分）【解析】：（1）因为，所以，当时， 在上单调递增，在上无零点； 3分当时，在上单调递减，在上有唯一零点；综上，函数在区间上有唯一一个零点。 5分（2）， 6分证明过程如下：设函数，则，令，得；令，得.所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.则函数在处取得极小值，亦即最小值，即，即；综上成立 9分证明成立，即证明成立，因为在上单调递增，即，所以，由知，即有，有成立，当时， ，此时能取等号。即，即成立 12分21（本小题满分12分）【解析】：（1）椭圆上的点的下辅助点为，辅助圆的半径为，椭圆长半轴为，将点代入椭圆方程中，解得，椭圆的方程为； 4分（2）设点，则点，将
13、两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，故，即，又，则将与联立可解得或，下辅助点的坐标为或 7分（3）由题意可设，.联立整理得，则.根据韦达定理得 8分因为四边形是对边平行且相等和容易变形的四边形，即四边形恰好为平行四边形，所以.所以，因为点在椭圆上，所以，整理得，即 10分在直线l：中，由于直线与坐标轴围成三角形，则，.令，得，令，得.所以三角形面积为当且仅当，时，取等号，此时.且有，故所求的值为. 12分22（本小题满分10分）【解析】：（1）将曲线方程，先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到曲线的方程为，也即，故曲线的参数方程为为参数）； 2分又点为曲线上任意一点，所以，所以的最大值为 5分（2）由（1）知曲线C的直角坐标方程为，又直线l的参数方程为，（为参数），所以直线的普通方程为，所以有解得或， 8分所以线段的中点坐标为，即线段的中点坐标为，直线的斜率为，则与直线垂直的直线的斜率为，故所求直线的直角坐标方程为，即，将代入，得其极坐标方程为 10分23（本小题满分10分）【解析】：（1）不等式化为，即，等价于或，由解得，由解得或， 4分所以不等式的解集为 5分（2）根据绝对值三角不等式可知， 7分因为的值域为所以，则，故，当且仅当，即时取等号时，由基本不等式可得 10分