1、2016 年竞赛与自主招生专题第十五讲 解析几何一 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，
2、形成了题目多变、解法灵活的特色。一、知识精讲1. 点到直线的距离 ：(点,直线：).2.圆的四种方程（1）圆的标准方程 .（2）圆的一般方程 (0).（3）圆的参数方程 .（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).3.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内.4.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:;. 其中.5.椭圆的参数方程是.6.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在轴上， 焦点在轴上）.7.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或（1. 三角形四心
3、的坐标 设三边的长度分别为a,b,c，三个顶点A、B、C的坐标分别记为、，则重心G、内心I、垂心H、外心O坐标分别为、。2. 直线系 若直线与直线相交于P，则它们的线性组合（，且不全为0）（*）表示过P点的直线系。当参数为一组确定的值时，（*）表示一条过P点的直线。特别的，当时，（*）式即；当时，（*）式即为。对于以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1.又若与平行，这时（*）式表示所有与平行的直线。3.圆幂定理：过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等，即它们的积为定值.备注：切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点.若定点到
4、圆心的距离为，圆半径为，则这个定值为.当定点在圆内时，等于过定点的最小弦的一半的平方；当定点在圆上时，；当定点在圆外时，等于从定点向圆所引切线长的平方.特别地，我们把称为定点对于圆的幂.4.两圆的“根轴”：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线；如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线这条直线称为两圆的“根轴”对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点5.各曲线的定义：（1）椭圆：；（2）双曲线：；（3）抛物线：6.圆锥曲线的
5、统一定义：平面上，到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为一个常数的点的轨迹叫做圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）当时，曲线是椭圆；当时，曲线是双曲线；当时，曲线是抛物线这个定点叫做曲线的焦点，定直线叫做曲线的准线，定点到定直线的距离叫做焦参数7.圆锥曲线的标准方程：（1）椭圆：，；（2）双曲线：，（）；（3）抛物线：，（）备注：比值叫圆锥曲线的离心率，其中。三、 典例精讲例1（2011复旦）椭圆上的点到圆上的点的距离的最大值是（ ）。（A）11 （B） （C） （D）分析与解答：由平面几何知识，椭圆上的点到圆上的点的距离最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。设圆圆心为，是椭圆上的点
6、，则（当时取等号）。故所求距离最大值为11.注：或者考虑与的相交情况，用判别式法解决。例2（2012“卓越联盟”）抛物线，为抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中垂线交轴于，。（1） 证明：是的等差中项；（2） 若，为平行于轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线的方程。分析与解答：（1）设，由抛物线定义知。又中垂线交轴于，故，因为，所以，故，是的等差中项。（2） 因为，所以。设，。圆心。设直线的方程为。由于弦长为定值，故为定值，这里R为圆的半径，d为圆心到的距离。 。令，即时，为定值，故这样的直线的方程为。例3（2006复旦）已知抛物线，直线都过点且互相垂直。若抛物线与直线中
7、至少有一条相交，求实数的取值范围。分析与解答：先看的情形，如图13-8，显然，无论在抛物线形内，还是在形外。与始终至少有一条相交，故符合题意。若，过作抛物线的切线，设这两条切线的张角为。若，则我们总可以找出两条互相垂直的直线，使这两条直线与不相交，（如图13-9）；若，则过的两条直线中，必有一条与相交（如图13-10）。 图13-8 图13-9 图13-10于是，原问题转化为如下一个问题：过作抛物线的切线，这两条切线对抛物线的张角。设过的切线方程为，由，知。令。设方程两根为，则。由韦达定理，故。综上，的取值范围是。例4设，常数，定义运算“”：，定义运算“”： ；对于两点、，定义.(1)若，求动
8、点的轨迹；(2)已知直线与(1)中轨迹交于、两点，若，试求的值；(3)在(2)中条件下，若直线不过原点且与轴交于点S，与轴交于点T，并且与(1)中轨迹交于不同两点P、Q , 试求的取值范围。分析与解答：(1)设 则 又由0可得 P(,)的轨迹方程为，轨迹C为顶点在原点，焦点为的抛物线在轴上及第一象限的内的部分 (2) 由已知可得 , 整理得,由 ,得， OxyPSTQQ1P1 , 解得或(舍) ； (3)设直线,依题意,，则,分别过P、Q作PP1y轴，QQ1y轴，垂足分别为P1、Q1，则由消去y得 、取不相等的正数，取等的条件不成立 的取值范围是（2，+） 例5（2011“华约”）抛物线的焦点
9、为，弦过，原点为，抛物线准线与轴交于点，求。分析与解答：解法一：设，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为，依抛物线定义知，所以，所以。同理，所以。解法二：AB：代入抛物线中，所以。所以又，所以。例6（2012“北约”）已知点，若点C是圆上的动点，求面积的最小值。分析与解答：圆的方程。设到AB：的距离为d，则。因为。所以，所以。当C点的坐标取时，的面积有最小值。例7.（2010五校联考）如图，在上，关于抛物线对称轴对称。过点作切线，切线，点到距离分别为，。（1） 试问：是锐角、钝角还是直角三角形？（2） 若的面积是240，求的坐标和的方程。分析与解答：（1）对求导，。设，由导数的几何意义知BC的
10、斜率。由题意知，设，则。从而。 ， ， ，再结合知，故是直角三角形。（2） 由（1），不妨设C在AD上方，AB的方程为。由得到另一个交点。AC方程为，由得到另一个交点。 ， ，所以，解得，故或。 时，BC的方程为。 时，BC的方程为。注：此题的关键是证明。四、 真题训练1.（2001复旦）抛物线的准线方程为（ ）（A） （B） （C） （D）2.对于直角坐标平面内任意两点、，定义它们之间的一种“新距离”：.给出下列三个命题：若点在线段上. 则 ；在中，若,则；在中，。其中的真命题为 ( ) A. B. C. D. 3.（2012复旦）极坐标方程为常数）所表示的曲线是（ ）。（A） 圆或直线 （
11、B）抛物线或双曲线 （C）双曲线或椭圆 （D）抛物线或椭圆4.（2010复旦）参数方程所表示的函数是（ ）。（A） 图像关于原点对称 （B）图像关于直线对称（C）周期为的周期函数 （D）周期为的周期函数5. 在平面直角坐标系中，定义点之间的“直角距离”为。若到点的“直角距离”相等，其中实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为。6. 在平面直角坐标系中，为坐标原点。定义、两点之间的“直角距离”为。已知，点为直线上的动点， 则的最小值为 。7.（2012 “卓越联盟”）如图，是圆的直径，于，且，是圆的切线，交于。（1） 求；（2） 连结，判断与的关系。并加以证明。8.（2011“北约”）求过
12、两抛物线交点的直线方程。9.（2010同济）如图，已知动直线经过点，交抛物线于两点，坐标原点是的中点，设直线的斜率分别为。（1） 证明：；（2） 当时，是否存在垂直于x轴的直线，被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由。10.（2009上海交大）是圆与上的点，求的最小值。五、 真题训练答案1.【答案】B【分析与解答】：令则原抛物线方程为，其准线方程为，故原抛物线的准线方程为。2.【答案】C3.【答案】D【分析与解答】：由知识拓展圆锥曲线的统一极坐标方程知：，。故为椭圆或抛物线（当且仅当时取抛物线）。4.【答案】C【分析与解答】：， ，即，故是以为周期的周期
13、函数。5.【答案】：6.【答案】：47.【分析与解答】：（1）连结AF、OF，则A、F、G、H四点共圆。且由EF是切线知，。所以，且（弦切角等于弦所对的圆周角）所以。所以。（2） FD与AB不平行（即相交），用反证法。如图，以O为坐标原点，AB所在直线为y轴建立一个平面直角坐标系。若，则D点的横坐标等于F点的横坐标，即4.从而。又，所以EF的斜率为。而。这与是圆的切线矛盾！8.【分析与解答】：设交点为，则 5+2有，同理：。所以都在直线上，而过两点的直线方程是唯一的。所以所求直线方程为。9.【分析与解答】：（1）解法一：设。直线AQ交抛物线于，则直线AQ：，直线AB：，先将代入中。所以，同理。所以。所以B与C关于x轴对称即与关于x轴对称。所以。解法二：设AB：代入中，。（2） 因为，所以抛物线为：。那么可设，又，并可得A、P中点，（如图）则圆的半径。再设直线存在且为：。那么要使被以AP为直径的圆截得的弦长为定值C；则即。所以直线存在，为。10.【分析与解答】：设圆的圆心为，则。再设Q点坐标为，则 ，从而，等号成立，且三点共线，即且三点共线。故的最小值为。
