1、第五十三讲 数系的扩充与复数的引入一选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.(2010山东)已知=b+i(a,bR),其中i为虚数单位,则a+b=( )A.-1 B.1C.2 D.3解析:由=b+i得a+2i=bi-1,所以a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B.答案:B2.(2010江西)已知(x+i)(1-i)=y,则实数x,y分别为( )A.x=-1,y=1 B.x=-1,y=2C.x=1,y=1 D.x=1,y=2解析:由(x+i)(1-i)=y得(x+1)+(1-x)i=y,又因x,y为实数,所以有解得答案:D3.(2010新课标全国
2、)已知复数z=是z的共轭复数,则z=( )解析:z=z=|z|2=,故选A.答案:A4.(2010广东)若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1z2=( )A.4+2i B.2+iC.2+2i D.3+i解析:z1z2=(1+i)(3-i)=3-i+3i-i2=4+2i.答案:A5.(2010浙江)对任意复数z=x+yi(x,yR),i为虚数单位,则下列结论正确的是( )A.|z-|=2y B.z2=x2+y2C.|z-|2x D.|z|x|+|y|解析:|z|=|x|+|y|,D正确,易知ABC错误.答案:D6.(2010福建)对于复数a,b,c,d,若集合S=a,b,c,d具有性质“对任意
3、x,yS,必有xyS”,则当时,b+c+d等于( )A.1 B.-1C.0 D.i解析:根据集合元素的唯一性,知b=-1,由c2=-1得c=i,因对任意x,yS,必有xyS,所以当c=i时,d=-i;当c=-i时,d=i,所以b+c+d=-1.答案:B二填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.(2010北京)在复平面内,复数对应的点的坐标为_.解析: =-1+i,故其对应的点的坐标是(-1,1).答案:(-1,1)8.(2010重庆)已知复数z=1+i,则z=_.解析: (1+i)=(1-i)-(1+i)=-2i.答案:-2i9.(2010江苏)设复数
4、z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚数单位),则z的模为_.解析:z(2-3i)=6+4i,z=,|z|=答案:210.已知复数z=x+yi且|z-2|=则的最大值是_;最小值是_.解析:|z-2|=,(x-2)2+y2=3,则可看作是圆(x-2)2+y2=3上的点与原点连线的斜率,设=k,则直线y=kx与圆相切时,k可以取到最大或最小值.即解得或,即最大值为,最小值为答案:三解答题:(本大题共3小题,1112题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.当实数m为何值时,z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(1)为纯虚数;(2)为实数;(3)对应的点在复平面内的第二象
5、限内.解:(1)若z为纯虚数,则有即m=3;(2)若z为实数,则有m=-1或m=-2;(3)若z对应的点在复平面内的第二象限,则有-1m1-或1+m3.12.复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为ABC,若BAC是钝角,求实数c的取值范围.解:在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由BAC是钝角得0,且BAC不共线,由(-3,-4)(c-3,2c-10)其中当c=9时, ,三点共线,故c9.c的取值范围是c且c9.13.已知复数z=1+i,求实数a,b,使得az+2b=(a+2z)2.分析:充分利用共轭复数的性质复数相等的充要条件即可解出,在求解过程中,整体代入可获得简捷明快别具一格的解法.解:因为z=1+i,所以az+2b=(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)2=(a2+4a)+4(a+2)i.因为a,b都是实数,所以可得解得或即a=-2,b=-1或a=-4,b=2.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m