1、一、单选题1. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，
2、若（）或（）， 数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.2. （2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和若，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】设公差为，联立解得，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.3. 已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d0”是A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d0”是“S4 + S62S5”的充要条件，选C【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公
3、式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件4. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ）A. 12B. 10C. 9D. 【答案】C【解析】【分析】由等比数列下标和性质可求得，结合对数的运算法则可求得结果.【详解】由等比数列下标和的性质可得：，等比数列的各项均为正数，.故选：【点睛】本题考查等比数列下标和性质的应用，涉及到对数的运算，属于基础题.5. 等差数列中，且，为其前项和，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】由题意可得：由等差数列的性质可得 即可得到答案.【详解】由题意可得：因为
4、a100，a110，且a11|a10|，所以由等差数列的性质可得：故选B【点睛】本题主要考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，掌握等差数列的前n项和公式6. 已知数列的前项和为，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由，可得两式相减可得公比的值，由可得首项的值，结合可得，展开后利用基本不等式可得时取得最小值，结合为整数，检验即可得结果.【详解】因为，所以.两式相减化简可得，公比，由可得，则，解得，当且仅当时取等号，此时，解得，取整数，均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当时，取最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查等比数列的定义与通项公式的应
5、用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.7. 已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）A. 9B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的知识求出m与n的关系，再利用基本不等式求解出最值.【详解】因为，所以，解得或，因为，所以， 因此依次代入得当时，取最小值.故选：B.【点睛】在利用基本
6、不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.本题由于自变量范围为正整数，所以采取逐一代入法较为简单.8. 数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则an的前60项和为（）A. 3690B. 3660C. 1845D. 1830【答案】D【解析】【详解】由于数列an满足an+1+（1）nan=2n1，故有 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97从而可得 a3+a1=2，a4
7、+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列an的前60项和为 152+（158+）=1830，故选D9. 已知数列满足设，为数列的前项和若（常数），则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】 当时，类比写出 由-得 ，即.当时， -得，
8、（常数），的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式； （2）当时， 求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求数列前项和，则，两式错位相减并整理即得.10. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习
9、数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A. 440B. 330C. 220D. 110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选A.点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先
10、需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.二、多选题11. 设是等差数列，是其前项的和，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 与均为的最大值【答案】ABD【解析】【分析】由是等差数列，是其前项的和，且，则，再代入逐一检验即可得解.【详解】解：由是等差数列，是其前项的和，且，则，则数列为递减数列，即选项A，B正确，由，即，即选项C错误，由，可得与均为的最大值，即选项D正确， 故选：ABD. 【点睛】本题考查了等差数列的
11、性质，重点考查了运算能力，属基础题.12. 已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定【详解】时，数列不一定是等比数列，时，数列不一定是等比数列，由等比数列的定义知和都是等比数列故选AD【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列三、填空题13. （2017新课标全国II理科）等差数列的前项和为，则_【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有 ，解得 ，数
12、列的前n项和，裂项可得，所以点睛:等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点14. 等比数列的前项和为， ，若，则_【答案】【解析】【分析】由等比数列的求和公式及得，再利用通项公式求即可【详解】由题知公比，所以，解得，所以.故答案为【点睛】本题考查等比数列的通项及求和公式，熟记公
13、式准确计算是关键，是基础题15. 数列的首项，且，令，则_【答案】【解析】【分析】构造数列，并求得数列的通项公式；再代入对数中求得数列的通项公式，进而利用等差数列的求和公式即可求得数列的前n项和【详解】因为所以所以 且所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列所以 即代入得 设数列的前n项和为 则则【点睛】本题考查了数列的综合应用，关键是构造出数列，并求得数列的通项公式，等差数列求和的应用也是重点，属于中档题16. 已知数列 中，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题意可得，运用累加法和裂项相消求和可得，再由不等式恒成立问题可得恒成立，转化为最值问题可得实数
14、的取值范围【详解】由题意数列中，即，则有，则有又对于任意的，不等式恒成立，即对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，则，解得或.故答案为：.【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将变形为四、解答题17. 已知是等差数列的前项和，.（1）求数列的通项公式；(2)设,求.【答案】(1) ； （2）.【解析】分析】（1）由，解得，可得；（2）由（1），利用裂项相消法可得结果.【详解】（1）由，解得，可得. （2）由（1），所求式等于 .【点睛】本题主要考查等差数列的通项以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之
15、一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和.【答案】（）. .（）.【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以
16、.又因为，解得.所以，.由，可得.由，可得，联立，解得，由此可得.所以，的通项公式为，的通项公式为.（）解：设数列的前项和为，由，有，上述两式相减，得.得.所以，数列的前项和为.【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.19. 已知数列中，且，成等比数列，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前2n项和为 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）
17、由成等比数列，化简可得，利用等差数列的通项公式可得；（2）根据通项公式的特征，采用分组求和、并项求和与等差数列前项和公式相结合的形式求和即可.【详解】（1）成等比数列，数列成等差数列，解得，；（2），=.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、并项求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.20. 已知为数列的前n项和，且，求数列的通项公式；若对，求数列的前2n项的和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】，时，化为：，由，可得，时，且，解得，利用等差数列的通项公式可得，利用分组求和即可得出【详解】，时，化为：，时，且，解得数列是等差数列，首项为1，公差为3数列的前
18、2n项的和【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21. 已知数列中，前项和为，且.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）构造，两式作差得到即可得到即可得证（2）利用裂项相消法求和【详解】解：（1）证明：令得，得， 在中可约去得，即，又，是以首项为1，公差为1的等差数列（2）易得，【点睛】本题考查由证明数列为等差数列以及裂项相消法求和，属于中档题.22. 设数列的前n项和为，已知，（）（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列满足：， 求数列的通项公
19、式； 是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）数列为等比数列，首项为1，公比为2（2），【解析】【分析】（1）由题设的递推关系式，得到（），即可证得数列为等比数列 （2） 由（1）知，化简得，则数列是首项为1，公差为1的等差数列，即可求得 利用乘公比错位相减法，求得，进而得到，显然当 时，上式成立，设，由，所以数列单调递减，进而得到结论.【详解】（1）解：由，得（），两式相减，得，即（） 因为，由，得，所以，所以对任意都成立，所以数列为等比数列，首项为1，公比为2 （2） 由（1）知，由，得， 即，即， 因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列 所以，所以 设，则，所以，两式相减，得 ，所以 由，得，即显然当时，上式成立，设（），即因为，所以数列单调递减，所以只有唯一解，所以存在唯一正整数，使得成立【点睛】点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
