1、第二课时最值、范围、证明专题【选题明细表】知识点、方法题号最值问题2,4范围问题1,3,6证明问题5,71.已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为4,且与椭圆x2+=1有相同的离心率,斜率为k的直线l经过点M(0,1),与椭圆C交于不同的两点A,B.(1)求椭圆C的标准方程;(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围.解:(1)因为椭圆C的焦距为4,所以c=2.又因为椭圆x2+=1的离心率为,所以椭圆C的离心率e=,所以a=2,b=2,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2+4kx-6
2、=0,所以x1+x2=,x1x2=.由(1)知椭圆C的右焦点F的坐标为(2,0),因为右焦点F在圆的内部,所以0,所以(x1-2)(x2-2)+y1y20,即x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+k(x1+x2)+10,所以(1+k2)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5=(1+k2)+(k-2)+5=0,所以k.经检验,当k0,将线段AB中点M(,)代入直线方程y=mx+,解得b=-.由得m.(2)令t=(-,0)(0,),则|AB|=,且O到直线AB的距离为d=.设AOB的面积为S(t),所以S(t)=|AB|d=.当且仅当t2=时,等号成立.故AOB面积的最大值为.3.已知椭圆
3、C:+=1(ab0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点F的直线(不与x轴重合)交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.解:(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意,得c=1.因为椭圆C的离心率为e=,所以a=2c=2,b2=a2-c2=3.故椭圆C的方程为+=1.(2)当MNx轴时,显然y0=0.当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为y=k(x-1)(k0).由消去y并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x3,y3),则x1+x2=,
4、所以x3=,y3=k(x3-1)=,线段MN的垂直平分线的方程为y+=-(x-).在上述方程中,令x=0,得y0=.当k0时,+4k4,当且仅当=4k,k=时等号成立.所以-y00或0b0)的两个焦点为F1,F2,离心率为,直线l与椭圆相交于A,B两点,且满足|AF1|+|AF2|=4,kOAkOB=-,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)求的最值.解:(1)椭圆的离心率为,所以=,因为2a=|AF1|+|AF2|=4,所以a=2,即c=2,则b2=4.则椭圆的方程为+=1.(2)当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1+2k2)
5、x2+4kmx+2m2-8=0,=8(8k2-m2+4)0,x1+x2=,x1x2=,因为kOAkOB=-,所以=-,所以y1y2=-x1x2=-=-,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2+km+m2=,所以-=,即-(m2-4)=m2-8k2,所以4k2+2=m2,则=x1x2+y1y2=-=2-,所以-20),即直线AB平行于x轴时,最小值为-2.当斜率不存在时,x1=x2,y1=-y2,kOAkOB=-=-,所以=2,将A坐标代入椭圆方程得=2,所以的最大值为2.综上的最大值为2,的最小值为-2.5.平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两
6、点A(1,0),B(0,-2),点C满足=+,其中,R,且-2=1.(1)求点C的轨迹方程;(2)设点C的轨迹与椭圆+=1(ab0)交于两点M,N,且以MN为直径的圆过原点,求证:+为定值;(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率不大于,求椭圆长轴长的取值范围.(1)解:设C(x,y),由=+,可得(x,y)=(1,0)+(0,-2),所以即有代入-2=1,有x+y=1,即点C的轨迹方程为x+y=1.(2)证明:由可得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,因为以MN为直径的圆过原点O,则=0,即有x1x2+y1y2=0
7、,x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1-+2=0,可得a2+b2-2a2b2=0,即有+=2为定值.(3)解:+=2,可得b2=.由ab0,即1,由e,则e2=,即1-,即2a2-14,又a1,所以1a,即2b0)的焦距为2,且过点(1,),右焦点为F2.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M的横坐标为-,线段AB的中垂线交椭圆C于P,Q两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求的取值范围.解:(1)因为焦距为2,所以a2-b2=1.因为椭圆C过点(1,),所以+=1.故a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意知,当直线AB垂直于x轴时,直
8、线AB方程为x=-,此时P(-,0),Q(,0),又F2(1,0),得=-1.当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k(k0),M(-,m)(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-1,y1+y2=2m.由得(x1+x2)+2(y1+y2)=0,则-1+4mk=0,故k=.此时,直线PQ斜率为k1=-4m,PQ的直线方程为y-m=-4m(x+).即y=-4mx-m.联立方程组整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.设P(x3,y3),Q(x4,y4),所以x3+x4=-,x3x4=.于是=(x3-1)(x4-1)+ y3y4=x3x4-(x3+x4)+
9、1+(4mx3+m)(4mx4+m)=(4m2-1)(x3+x4)+(16m2+1)x3x4+m2+1=+m2+1=.由于M(-,m)在椭圆的内部,故0m2.令t=32m2+1,1t29,则=-.又1t29,所以-1b0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.(1)求椭圆C的方程;(2)过点S(0,-)的直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由消去y得x2+(2b-4)x+b2=0.因为直线y=x+b与抛物线y2=4x
10、相切,所以=(2b-4)2-4b2=0,所以b=1,因为椭圆C:+=1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,所以a=b=,故所求椭圆C的方程为+y2=1.(2)存在.理由:当l与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:x2+(y+)2=()2,当l与x轴垂直时,以AB为直径的圆的方程:x2+y2=1.由解得即两圆相切于点(0,1),因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1).下面证明点T(0,1)就是所求的点.当直线l垂直于x轴时,以AB为直径的圆过点T(0,1);若直线l不垂直于x轴,可设直线l:y=kx-.由消去y得(18k2+9)x2-12kx-16=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则又因为=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),所以=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-)(kx2-)=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+=(1+k2)-k+=0,所以TATB,即以AB为直径的圆恒过点T(0,1).所以在直角坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.
