1、第二节等差数列及其前n项和授课提示：对应学生用书第92页基础梳理1等差数列的有关概念(1)定义：文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数符号语言：an1and(nN，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫作a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d(2)前n项和公式：Snna1d3等差数列的性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差为md的等差数列
2、(4)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列1两个重要技巧(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为ad，a，ad.(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为ad，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元2三个必备结论(1)若等差数列an的项数为偶数2n，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd，.(2)若等差数列an的项数为奇数2n1，则S2n1(2n1)an1；.(3)在等差数列an中，若a10，d0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a10，d0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.3两个函数等差数列an，当d0时，
3、andn(a1d)，是关于n的一次函数；Snn2(a1)n是无常数项的二次函数四基自测1(基础点：求项数)已知数列an中，an3n4，若an13，则n等于()A3B4C5 D6答案：A2(基础点：求公差)已知等差数列an满足：a313，a1333，则数列an的公差为()A1 B2C3 D4答案：B3(基础点：求通项)已知数列an中，a11，an1an1，则an等于_答案：n24(基础点：求等差数列的前n项和)已知等差数列5，4，3，则前n项和Sn_答案：(15nn2)授课提示：对应学生用书第92页考点一等差数列的基本运算及性质挖掘1用等差数列的基本量a1和d进行计算/自主练透例1(1)(201
4、8高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5()A12B10C10 D12解析设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.故选B.答案B(2)(2019高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n解析设首项为a1，公差为d.由S40，a55可得解得所以an32(n1)2n5，Snn(3)2n24n.故选A.答案A(3)已知等差数列an的各项都为整数，且a15，a3a41，则|a1|a2|a10
5、|()A70 B58C51 D40解析设等差数列an的公差为d，由各项都为整数得dZ，因为a15，所以a3a4(52d)(53d)1，化简得6d225d260，解得d2或d(舍去)，所以an2n7，所以|a1|a2|a10|5311313958.故选B.答案B挖掘2用等差数列性质进行计算/互动探究例2(1)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2C4 D8解析设等差数列an的公差为d，d4，故选C.答案C(2)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，则a20等于 ()A7 B3C1 D1解析由an是等差数列及a1a3a5105，得3
6、a3105，即a335，由an是等差数列及a2a4a699，得3a499，即a433，则公差da4a32，则a20a3(203)d35341，故选D.答案D(3)(2020广东第一次模拟)等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x2)，的第四项等于()A3 B4Clog318 Dlog324解析log3(2x)，log3(3x)，log3(4x2)成等差数列，log3(2x)log3(4x2)2log3(3x)，log32x(4x2)log3(3x)2，解得x4.等差数列的前三项为log38，log312，log318，公差dlog312log38log3，数列的第四项为log
7、318log3log3273.答案A破题技法等差数列的计算技巧方法解读适合题型基本量法用a1和d表示条件和所求，用方程思想求出a1和d五个基本量，a1，d，Sn，n，an中知三求二性质法用等差数列的性质将已知和所求联系起来，用性质表示an和Sn当已知中有“anam”式的表达式(2020河北石家庄一模)已知函数f(x)在(1，)上单调，且函数yf(x2)的图像关于直线x1对称，若数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50)f(a51)，则an的前100项的和为()A200 B100C0 D50解析：由yf(x2)的图像关于直线x1对称，可得yf(x)的图像关于直线x1对称，由数列an是公差不为
8、0的等差数列，且f(a50)f(a51)，函数f(x)在(1，)上单调，可得a50a512，又由等差数列的性质得a1a100a50a512，则an的前100项的和为100，故选B.答案：B考点二等差数列的判定与证明挖掘1用等差数列定义证明/自主练透例1(2020南京模拟)已知数列an的前n项和为Sn且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式解析(1)证明：因为anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，所以Sn1Sn2SnSn1，Sn0.因此2(n2)故由等差数列的定义知是以2为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知(n1)d2(n1)22n，即Sn
9、.由于当n2时，有an2SnSn1，又因为a1，不适合上式所以an挖掘2用等差中项法证明/互动探究例2已知等比数列an的公比为q，前n项和为Sn.(1)若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列；(2)若am2是am1和am的等差中项，则Sm，Sm2，Sm1成等差数列吗？解析(1)证明：由S3，S9，S6成等差数列，得S3S62S9.若q1，则3a16a118a1，解得a10，这与an是等比数列矛盾，所以q1，于是有，整理得q3q62q9.因为q0且q1，所以q3，a8a2q6a2，a5a2q3a2，所以2a8a2a5，即a8a2a5a8，故a2，a8，a5成等差数列(2)
10、依题意，得2am2am1am，则2a1qm1a1qma1qm1.在等比数列an中，a10，q0，所以2q2q1，解得q1或q.当q1时，SmSm1ma1(m1)a1(2m1)a1，Sm2(m2)a1.因为a10，所以2Sm2SmSm1，此时Sm，Sm2，Sm1不成等差数列当q时，Sm21()m2 1()m，SmSm11()m1()m12()m，所以2Sm2SmSm1.故当q1时，Sm，Sm2，Sm1不成等差数列；当q时，Sm，Sm2，Sm1成等差数列破题技法判定数列an是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意nN，an1an是同一个常数(证明用)(2)等差中项法：对任意n2，nN，满足2ana
11、n1an1.(证明用)(3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断拓展判断数列为等差数列，也可以利用图像特点：如果数列的图像(孤立的点)分布在一条直线上，则该数列为等差数列，否则不是等差数列如果a，b，c成等差数列且不全相等，能构成等差数列吗？用函数图像解释一下解析：a，b，c成等差数列，通项公式为ypnq的形式，且a，b，c位于同一直线上，而，的通项公式为y的形式其图像不是直线，故，不是等差数列考点三等差数列前n项和及综合问题挖掘1等差数列的求和及最值/ 互动
12、探究例1(1)(2018高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.求an的通项公式；求Sn，并求Sn的最小值解析设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通项公式为ana1(n1)d2n9.由得Snnn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.(2)已知数列an满足a12，n(an1n1)(n1)(ann)(nN)求证数列是等差数列，并求其通项公式；设bn15，求数列|bn|的前n项和Tn.解析证明：n(an1n1)(n1)(ann)(nN)，nan1(n1)an2n(n1)，2，数列是等差数列，其公差为2，首项为2，2
13、2(n1)2n.由知an2n2，bn152n15，则数列bn的前n项和Snn214n.令bn2n150，解得n7.n7时，数列|bn|的前n项和Tnb1b2bnSnn214n.n8时，数列|bn|的前n项和Tnb1b2b7b8bn2S7Sn2(72147)n214nn214n98.Tn破题技法等差数列an的前n项和Sn存在最值的情况：如果a10，d0时，数列的项先正(或0)后负，将所有正项(或0)相加，则Sn最大，或者Snn2(a1)n表示开口向下的抛物线，Sn存在最大如果a10，d0，数列的项先负(或0)后正，将所有的负项(或0)相加，则Sn最小，或者Snn2(a1)n表示开口向上的抛物线，
14、Sn存在最小挖掘2等差数列求和的综合应用/ 互动探究例2(1)(2019高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S9a5.若a34，求an的通项公式；若a10，求使得Snan的n的取值范围解析设an的公差为d.由S9a5得a14d0.由a34得a12d4.于是a18，d2.因此an的通项公式为an102n.由得a14d，故an(n5)d，Sn.由a10知d0，d0，满足，Sn取得最大值Sm；a10，满足，Sn取得最小值Sm.挖掘3等差数列和的性质及创新问题/ 互动探究例3(1)(2020河北唐山第二次模拟)设an是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列
15、等式中恒成立的是()A2XZ3YB4XZ4YC2X3Z7Y D8XZ6Y解析设数列an的前3n项的和为R，则由等差数列的性质得X，YX，RY，ZR成等差数列，所以2(YX)XRY，解之得R3Y3X，又因为2(RY)YXZR，把R3Y3X代入得8XZ6Y，故选D.答案D(2)(2020湖北黄冈一模)设等差数列an的前n项和为Sn，等差数列bn的前n项和为Tn，若，则()A528 B529C530 D531解析根据等差数列的性质：得531.故选D.答案D(3)(2020江西红色七校第一次联考)已知数列an为等差数列，若a2a6a10，则tan(a3a9)的值为()A0 B.C1 D.解析数列an为
16、等差数列，a2a6a10，3a6，解得a6，a3a92a6，tan(a3a9)tan.故选D.答案D(4)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()A174斤 B184斤C191斤 D201斤解析用a1，a2，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a1，a2，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，8a117996，解得a165.a865717184，即第8个儿子分到的绵
17、是184斤，故选B.答案B1(2020广东六校第三次联考)等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则a9a11的值是()A14 B15C16 D17 解析：依题意，由a4a6a8a10a12120，得5a8120，即a824，所以a9a11(3a9a11)(a9a7a11a11)(a9a7)a82416，故选C.答案：C2设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有，则的值为_解析：因为an，bn为等差数列，所以，因为.所以.答案：3设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9_解析：S3，S6S3，S9S6成等差数列，即9，27，S9S6成等差数列，a7a8a9S9S6227945.答案：45
