1、十 空间中的距离(15 分钟 30 分)1正方体的棱长为 a，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为()A 22a B12 a C 33 D13 a【解析】选 A.如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为 a，所以 Ea2，a2，a，F(a2，a2，0)，M(a2，a，a2)，N(0，a2，a2)，P(a2，0，a2)，Q(a，a2，a2).这个几何体是正八面体，棱长 PQ222aaaa(a)(0)()2222 22a.所以这个几何体的棱长为 22a.2已知正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB1，则点 A 到平面 BCC1B1的距离等于()A1 B 22 C12 D 3
2、2【解析】选 D.因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB1，所以 ABC 是边长为 1 的等边三角形，BB1平面 ABC，取 BC 中点 D，连接 AD，则 ADBC，ADBB1，因为 BCBB1B，所以 AD平面 BCC1B1，则点 A 到平面 BCC1B1 的距离为 AD2211()2 32.3在ABC 中，ABAC5，BC6，PA平面 ABC，PA8，则点 P 到 BC的距离是()A.5B2 5C3 5D4 5【解析】选 D.过点 A 作 ADBC 于点 D，连接 PD，因为 ABAC5，BC6，所以 BDDC3，又因为 PA平面 ABC，ADBC，所以 BCPD，所以点 P 到
3、 BC 的距离是 PD 的长，在 ADC 中，AC5，DC3，所以 AD4，在 Rt PAD 中，PD PA2AD2 8242 80 4 5.4在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA11，AD2，AB4，E 是 AC 的中点，则 D1E_，点 A 到 D1C 的距离为_【解析】建系如图，则 A()2，0，0，D1()0，0，1，C()0，4，0，E()1，2，0，1D C()0，4，1，1D E()1，2，1，所以|D1E 6，所以1D E 6.设 F()x，y，z满足1D F1D C，AF 1D C，所以1D F()x，y，z1()0，4，1()0，4，所以 F()0，4，1，AF(
4、)2，4，1，由AF 1D C0 得，117，AF 2，417，1617，所以AF2 35717，即点 A 到 D1C 的距离为2 35717.答案：6 2 35717 5已知在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AB2，CC12 2，E 为 CC1 的中点，求直线 AC1 与平面 BED 的距离【解析】连接 AC 交 BD 于点 O，连接 EO，则 OEAC1，得 AC1平面 BED，所以 AC1 到平面 BED 的距离，即为 C1 点到平面 BED 的距离，又 C1ECE 且 CC1平面 BEDE，所以 C1 点到平面 BED 的距离等于 C 点到平面 BED 的距离又 BD平面 E
5、CO，所以平面 BED平面 ECO，过点 C 作 CHEO 于点 H，则 CH 的长即为点 C 到平面 BED 的距离，所以 CHCECOEO 2 221.(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，若点 P 满足AP 35 AB 13 AD 141AA，则点 P 到直线 AB 的距离为()A 25144 B 512 C1320 D 10515【解析】选 B.如图，过点 P 作 PM平面 ABCD 于点 M，过点 M 作 NMAB 于点 N，连接 PN，则 PN 的长即为所求，因为满足AP 35 AB 13 AD 1
6、41AA，所以 AN35，MN13，MP14，所以 PN MN2MP2 512.2如图，在四面体 ABCD 中，AB，BC，BD 两两垂直，BCBD2，点 E 是CD 的中点，若直线 AB 与平面 ACD 所成角的正弦值为13，则点 B 到平面 ACD的距离为()A.22 B43 C2 23 D23【解析】选 B.在四面体 ABCD 中，AB，BC，BD 两两垂直，以 B 为原点，BC为 x 轴，BD 为 y 轴，BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，BCBD2，点 E 是 CD 的中点，设 BAt，则 A(0，0，t)，B(0，0，0)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，AB(0，0，t)
7、，CA(2，0，t)，CD(2，2，0)，设平面 ACD 的法向量 n(x，y，z)，则nCA 2xtz0nCD 2x2y0，取 x1，得 n1，1，2t，因为直线 AB 与平面 ACD 所成角的正弦值为13，所以|AB n|AB|n|2（t）224t213，解得 t4(t4，舍)，所以平面 ACD 的法向量 n1，1，12，AB(0，0，4)，所以点 B 到平面 ACD 的距离为 d|AB n|n|29443.3(2020遂宁模拟)用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体已知正六面体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 4，则平面 AB1D1与平面 BC1D 间的距离为()A 3 B
8、63 C4 33 D2 3【解析】选 C.由题意正六面体 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 4 的正方体，因为 AB1DC1，B1D1BD，AB1B1D1B1，C1DBDD，所以平面 AB1D1平面 BC1D，连接 A1C，可得 A1C平面 AB1D1，A1C平面 BC1D.设垂足分别为 E，F，则平面 AB1D1 与平面 BC1D 间的距离为 EF 的长正方体的棱长为 424242 4 3.在三棱锥 A1-AB1D1 中，由等体积法求得：A1E12444124 24 2 324 33.所以平面 AB1D1 与平面 BC1D 间的距离为 4 3 8 334 33.4在长方体 ABCD-A1
9、B1C1D1 中，AB1，AD2，AA15，P 是棱 DD1 上的动点，则 PA1C 的面积最小时，DP()A1 B2 C52 D4【解析】选 A.以点 A 为坐标原点，AB，AD，AA1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(0，0，5)，C(1，2，0)，P(0，2，z)(0z5)，所以 PA1 4（z5）2，A1C 1425 30，PC 1z2，所以 cos A1PC4（z5）21z2302PA1PCz25zPA1PC，所以 sin A1PC1z25zPA1PC2 5z210z29PA1PC，所以 S PA1C12 PA1PC sin A1PC 5z210
10、z292 5（z1）2242 6，当且仅当 z1 时取等号，即当 z1 时，PA1C 的面积取得最小值 6.二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，F 是棱 A1D1 上的动点下列说法不正确的是()A.对任意动点 F，在平面 ADD1A1 内不存在与平面 CBF 平行的直线B对任意动点 F，在平面 ABCD 内存在与平面 CBF 垂直的直线C当点 F 从 A1 运动到 D1 的过程中，二面角 F-BC-A 的大小不变D当点 F 从 A1 运动到 D1 的过程中，点 D 到平面 C
11、BF 的距离逐渐变大【解析】选 ABD.因为 AD 在平面 ADD1A1 内，且平行平面 CBF，故 A 不正确；平面 CBF 即平面 A1D1CB，又平面 A1D1CB 与平面 ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面 CBF 垂直的直线，故 B 不正确；平面 CBF 即平面 A1D1CB，平面 A1D1CB 与平面 ABCD 是确定平面，所以二面角不改变，故 C 正确；平面 CBF 即平面 A1D1CB，点 D 到平面 A1D1CB 的距离为定值，故不正确 6已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1，AA12，则()AD1C平面 A1BC1B异面直线 A1B
12、与 AC 所成角的余弦值为45CAC平面 BB1D1DD点 B1 到平面 A1BCD1 的距离为2 55【解析】选 ACD.如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，因为 A1D1BC，A1D1BC，所以四边形 BA1D1C 为平行四边形，则 D1CA1B.因为 A1B 平面 A1BC1，D1C平面 A1BC1，所以 D1C平面 A1BC1，故 A 正确；因为 D1CA1B，所以异面直线 A1B 与 AC 所成角即为ACD1.由已知求得 AC 2，AD1CD1 5，则 cos ACD112ACCD1 225 1010，故 B 错误；在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，DD1底面
13、 ABCD，则 DD1AC，又 ACBD，BDDD1D，所以 AC平面 BB1D1D，故 C 正确；设点 B1 到平面 A1BCD1 的距离为 h，由 VB-A1B1D1VB1-A1BD1，得13 12 11213 12 1 5 h，则 h2 55.即点 B1 到平面 A1BCD1 的距离为2 55，故 D 正确 三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7已知三棱锥 O-ABC，OAOB，OBOC，OCOA，且 OA1，OB2，OC2，则点 A 到直线 BC 的距离为_.【解析】以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.由题意可知 A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0
14、，0，2)，所以AB(1，2，0)，BC(0，2，2)，|AB|140 5，|AB BC|BC|2.所以点 A 到直线 BC 的距离 d 52 3.答案：3 8如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点 A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是 60，若对角线 A1C 的长是棱长的 m 倍，则 m 等于_【解题指南】设棱长为 a，由1A C1A AAB BC，得21A C(1A AAB BC)2，推导出1A C 2 a.由此能求出 m 的值【解析】一个结晶体的形状为平行六面体，以顶点 A 为端点的三条棱的长度都相等，且它们彼此的夹角都是 60.设棱长为 a，对角线 A1C 的长是
15、棱长的 m 倍，1A C1A AAB BC，所以21A C(1A AAB BC)221A A AB2BC22|1A A|AB|cos 1202|1A A|BC|cos 1202|AB|BC|cos 60a2a2a2a2a2a22a2，所以1A C 2 a.所以 m 2.答案：2四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 AB，A1C 的中点(1)求 EF；(2)求证：EF平面 AA1D1D.【解题指南】(1)以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出
16、|EF|，即得 EF.(2)求出1AD(2，0，2)，由1AD 2EF，得 AD1EF，由此能证明 EF平面AA1D1D.【解析】(1)在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 AB，A1C 的中点以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，由题知，E(2，1，0)，F(1，1，1)，所以EF(1，0，1)，所以|EF|（1）20212 2，即 EF 2.(2)由题知 A(2，0，0)，D1(0，0，2)，所以1AD(2，0，2)，所以1AD 2EF，故 AD1EF，又 AD1 平面 AA1D1D，EF平面 AA1D
17、1D，所以 EF平面 AA1D1D.10已知正方形 ABCD 的边长为 1，PD平面 ABCD，且 PD1，E，F 分别为AB，BC 的中点(1)求点 D 到平面 PEF 的距离；(2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离【解析】(1)建立以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系，如图所示 则 P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E1，12，0，F12，1，0，EF 12，12，0，PE 1，12，1，DE 1，12，0，设平面 PEF 的法向量 n(x，y，z)，则12x12y0，x12yz0.令 x2，则 y2，z3，所以
18、 n(2，2，3)，所以点 D 到平面 PEF 的距离为 d|DE n|n|21|449 31717，因此，点 D 到平面 PEF 的距离为 31717.(2)易知 ACEF，得 AC平面 PEF，因为AE 0，12，0，所以点 A 到平面 PEF 的距离为 d|AE n|n|117 1717，所以 AC 到平面 PEF 的距离为 1717.【补偿训练】如图，已知四棱锥 S-ABCD，SA底面 ABCD，DABABC90，AB4，BC3，AS4，E 是 AB 的中点，F 在 BC 上，且 BF12 FC，求点 A 到平面 SEF的距离【解析】以点 A 为坐标原点，分别以 AD，AB，AS 所在
19、的直线为 x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系 Axyz，如图所示，则 A(0，0，0)，E(0，2，0)，F(1，4，0)，S(0，0，4)，AS(0，0，4)，SE(0，2，4)，SF(1，4，4).设平面 SEF 的一个法向量为 n(x，y，z)，则SE n0，且SF n0，即(0，2，4)(x，y，z)2y4z0，且(1，4，4)(x，y，z)x4y4z0，在上面的两个方程中，令 z1，则可解得 x4，y2，所以 n(4，2，1)，因此，点 A 到平面 SEF 的距离 d|ASn|n|421 4 2121.1点 M 是棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中棱 AB 的中
20、点，CN 21NC，动点 P 在正方形 AA1DD1(包括边界)内运动，且 PB1平面 DMN，则 PC 的长度范围为()A 13，19 B3 355，19C2 3，19 D3 395，19【解题指南】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，平面 DMN 截正方体 ABCD-A1B1C1D1 的截面为梯形 DMEN，其中MEDN，BE1，取 C1D1 中点 F，在 DD1 上取点 H，使 DH2，在 AA1 取点 G，使 AG1，则平面 DMEN平面 B1FHG，推导出 P 点的轨迹是线段 GH，利用向量法能求出 PC 的长度范围【解析】选
21、B.以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，平面 DMN 截正方体 ABCD-A1B1C1D1 的截面为梯形 DMEN，其中 MEDN，BE1，取 C1D1 中点 F，在 DD1 上取点 H，使 DH2，在 AA1 取点 G，使 AG1，则平面 DMEN平面 B1FHG，因为动点 P 在正方形 AA1DD1(包括边界)内运动，且 PB1平面 DMN，所以 P 点的轨迹是线段 GH，G(3，0，1)，H(0，0，2)，C(0，3，0)，B1(3，3，3)GH(3，0，1)，GB1(0，3，2)，所以点 C 到线段 GH 的距离 d|GC|1co
22、s GC，GH 2 19 281()19103 355，所以 PC 的长度的最小值为3 353，GC 19，HC 13，所以 PC 长度的最大值为 19.所以 PC 的长度范围为3 355，19.2如图，以棱长为 a 的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，点 P 在正方体的对角线 AB 上，点 Q 在正方体的棱 CD 上(1)当点 P 为对角线 AB 的中点，点 Q 在棱 CD 上运动时，探究 PQ 的最小值；(2)当点 P 在对角线 AB 上运动，点 Q 为棱 CD 的中点时，探究 PQ 的最小值；(3)当点 P 在对角线 AB 上运动，点 Q 在棱 CD 上运动时，探究
23、PQ 的最小值【解析】因为正方体的棱长为 a，所以 A(a，a，0)，B(0，0，a)，C(0，a，0)，D(0，a，a)，可得 AB 的中点为12a，12a，12a，CD 中点为0，a，12a.(1)当点 P 为对角线 AB 的中点，点 Q 在棱 CD 上运动时，可得 P(12 a，12 a，12 a)，设 Q(0，a，m)(0ma)，所以 PQ222111(a0)(aa)(am)2222211a(am)2222111a(aa)222 22a，当且仅当 m12 a 时，即 Q 为 CD 的中点时，PQ 的最小值为 22a.(2)当 P 在对角线 AB 上运动，点 Q 为棱 CD 的中点时，可得 Q0，a，12a，设 P(n，n，an)(0na)，PQ2221(0n)(an)(aan)222113(na)a22221113(aa)a222 22a，当且仅当 n12 a 时，即 P 为 AB 的中点时，PQ 的最小值为 22a.(3)设 P(，a)，Q(0，a，)(0a 且 0a)，可得 PQ 2（a）2（a）2222a12()(a)a22，因为 22a()20，(a)20，所以 2(a2)2(a)212 a212 a2，当且仅当 a2 a0 时，等号成立，此时 12 a，所以当且仅当 P，Q 分别为 AB，CD 的中点时，PQ 的最小值为22a.
